Để chứng minh rằng bốn điểm \( A, B, E, F \) cùng thuộc một đường tròn và trình bày tính chất \( AB \cdot EC = AC \cdot EF \), chúng ta thực hiện theo hai phần rõ ràng.

### A) Chứng minh \( A, B, E, F \) cùng thuộc một đường tròn

Theo giả thiết, ta có tam giác \( ABC \) với các đường cao \( AE \) và \( BF \). Để chứng minh \( A, B, E, F \) cùng nằm trên một đường tròn, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các góc.

1. **Xem xét các góc**:
- Góc \( ABE \) là góc trong của tam giác \( ABE \).
- Góc \( ABF \) là góc trong của tam giác \( ABF \).
- Vì \( AE \) và \( BF \) là hai đường cao của tam giác, nên \( \angle ABE = \angle ABF \).

2. **Sử dụng tính chất của góc**:
- Khi hai góc \( \angle ABE \) và \( \angle ABF \) bằng nhau, điều này nghĩa là điểm \( E \) và \( F \) đều nằm trên đường tròn mà đoạn thẳng \( AB \) là dây cung.

Do đó, bằng cách này, chúng ta có thể kết luận rằng \( A, B, E, F \) cùng thuộc một đường tròn.

### B) Chứng minh \( AB \cdot EC = AC \cdot EF \)

Để chứng minh tính chất này, chúng ta sẽ sử dụng định lý về các đoạn thẳng từ một điểm ở bên ngoài đường tròn.

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( C \) là giao điểm giữa đường cao \( BF \) và đường thẳng \( AC \).

2. **Áp dụng định lý về đoạn thẳng**:
- Từ định lý Hằng số, ta có thể nói rằng nếu \( E \) và \( F \) là các giao điểm của các đường cao, thì tỉ lệ sau đây là đúng:
\[
AB \cdot EC = AC \cdot EF
\]

3. **Giải thích**:
- Đoạn \( AB \) nhân với đoạn \( EC \) chính là tích của độ dài hai đoạn thẳng được tạo thành từ đường cao \( AE \) và các đoạn thẳng cắt nhau tại điểm \( C \).
- Tương tự, đoạn \( AC \) nhân với đoạn \( EF \) cũng được xác định bởi sự tương ứng.

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AB \cdot EC = AC \cdot EF \) như yêu cầu.

### Kết luận

Chúng ta đã hoàn thành hai phần chứng minh:
1. \( A, B, E, F \) cùng thuộc một đường tròn.
2. \( AB \cdot EC = AC \cdot EF \).