Độ dài đường phân giác AD được tính theo công thức:
AD² = bc - BD * DC
Trong đó, BD và DC là độ dài các đoạn thẳng mà đường phân giác AD chia cạnh BC.
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
BD/AB = DC/AC
Hay:
BD/c = DC/b
Từ đó suy ra:
BD = (bc)/(b+c)
DC = (b²)/(b+c)
AD² = bc - [(bc)/(b+c)] * [(b²)/(b+c)]
AD² = bc - (b³c)/[(b+c)²]
AD² = [bc(b+c)² - b³c]/[(b+c)²]
AD² = [bc(b² + 2bc + c²) - b³c]/[(b+c)²]
AD² = (b³c + 2b²c² + bc³ - b³c)/[(b+c)²]
AD² = (2b²c² + bc³)/[(b+c)²]
AD² = bc²(2b + c)/[(b+c)²]
Ta cần chứng minh:
AD < 2bc/(b+c)
Hay:
AD² < [2bc/(b+c)]²
AD² < 4b²c²/(b+c)²
Thay biểu thức AD² đã tính được vào:
bc²(2b + c)/[(b+c)²] < 4b²c²/(b+c)²
Vì (b+c)² > 0, ta có thể nhân cả hai vế với (b+c)² mà không làm thay đổi dấu bất đẳng thức:
bc²(2b + c) < 4b²c²
Chia cả hai vế cho bc² (vì b, c > 0 nên bc² > 0):
2b + c < 4b
c < 2b
Bất đẳng thức c < 2b không phải lúc nào cũng đúng trong mọi tam giác ABC. Ví dụ, nếu b = 1 và c = 3, thì c > 2b. Điều này cho thấy cách chứng minh trên có vấn đề.
Cách chứng minh đúng:
Ta có công thức tính độ dài đường phân giác:
AD = (2bc * cos(A/2)) / (b+c)
Vì cos(A/2) < 1 (do A là góc trong tam giác, 0 < A < 180 độ, nên 0 < A/2 < 90 độ, và cos của một góc trong khoảng (0, 90) luôn nhỏ hơn 1), ta có:
AD < (2bc) / (b+c)
Vậy, AD < 2bc/(b+c) được chứng minh.