a) 
A = (1/(√x+1) - 2√x-2 / x√x - √x + x - 1) : (1/√x-1 - 2/x-1)
A = [(√x-1)/((√x+1)(√x-1)) - 2√x-2 / (√x-1)(x+1)] : (1/√x-1 - 2/x-1)
A = [(√x-1 - 2√x-2) / (x-1)] : (1/√x-1 - 2/x-1)
A = [(√x-1 - 2√x-2) / (x-1)] : [(x-1 - 2√x-1) / (x-1)(√x-1)]
A = (√x-1 - 2√x-2) / (x-1) * (x-1)(√x-1) / (x-1 - 2√x-1)
A = (√x-1 - 2√x-2) * (√x-1) / (x-1 - 2√x-1)
A = (x - 3√x + 2) / (x-1 - 2√x-1)
A = (x - 3√x + 2) / [(√x-1)^2]
A = [(√x-1)(√x-2)] / [(√x-1)^2]
A = (√x-2) / (√x-1)
b) 
Để A là số nguyên, thì tử số (√x-2) phải chia hết cho mẫu số (√x-1). Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
√x-2 = 0 hoặc √x-2 = ±1
Trường hợp 1:
√x-2 = 0 ⇒ x = 4 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, x ≠ 1)
Trường hợp 2:
√x-2 = 1 ⇒ x = 9 (thỏa mãn điều kiện)
Trường hợp 3:
√x-2 = -1 (loại vì căn bậc hai không âm)
Vậy, các giá trị x nguyên để A nguyên là x = 4 hoặc x = 9.
c) 
Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc bất đẳng thức. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể nhận thấy rằng:
Khi x tiến tới 1+ (tức là x > 1 và x càng gần 1), mẫu số √x-1 tiến về 0, làm cho giá trị tuyệt đối của A trở nên rất lớn.
Khi x tăng lên vô cùng, giá trị của A tiến về 1.
Từ đó, ta suy ra rằng A không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (1, +∞).