Cho phương trình \( 2x^2 - 4x + 1 = 0 \). Gọi \( x_1, x_2 \) là hai nghiệm của phương trình này. Tính giá trị của biểu thức \( P = (x_1 + 2x_2)(x_2 + 2x_1). \)

Để giải bài toán, trước hết ta cần tìm nghiệm của phương trình bậc hai \( 2x^2 - 4x + 1 = 0 \).

Áp dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
\]
với \( a = 2 \), \( b = -4 \), \( c = 1 \).

Tính \( b^2 - 4ac \):
\[
b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8.
\]

Do đó, nghiệm được tính như sau:
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Vậy hai nghiệm là:
\[
x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]

Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức \( P = (x_1 + 2x_2)(x_2 + 2x_1) \).

Tính từng phần:
\[
x_1 + 2x_2 = \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 - \sqrt{2} = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2},
\]
\[
x_2 + 2x_1 = \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 + \sqrt{2} = 3 + \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]

Sau đó, ta tính \( P \):
\[
P = (3 - \frac{\sqrt{2}}{2})(3 + \frac{\sqrt{2}}{2}).
\]
Áp dụng công thức hiệu hai bình:
\[
P = 3^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 9 - \frac{2}{4} = 9 - \frac{1}{2} = \frac{18}{2} - \frac{1}{2} = \frac{17}{2}.
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là:
\[
\boxed{\frac{17}{2}}.
\]