Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh 4 điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn:

1. **Xác định tâm O và bán kính R**: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Tâm O nằm giữa A và B.

2. **Kẻ tiếp tuyến Ax**: Vì Ax là tiếp tuyến tại A, nên OA ⊥ Ax.

3. **Đưa ra vị trí điểm P**: P nằm trên tiếp tuyến Ax, với điều kiện \( AP > R \).

4. **Kẻ tiếp tuyến PM**: M là tiếp điểm của đoạn thẳng PM với đường tròn (O).

5. **Chứng minh điểm P thuộc đường tròn (O)**:
- Ta có \( OA \) vuông góc với \( Ax \) và \( PM \) là tiếp tuyến tại M với đường tròn (O), suy ra đoạn nối OP cũng phải vuông góc với OM.
- Từ tính chất của tam giác vuông và đường tròn, \( PM^2 = PA^2 - AM^2 \) (theo định lý Pytago).
- Do đó, điểm P nằm trên đường tròn có tâm O và bán kính OA.

Cuối cùng, chúng ta đã chứng minh rằng bốn điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn.

### b) Chứng minh: \( OP \perp AM \):

1. **Sử dụng góc vuông**:
- Từ O là tâm của đường tròn, hai đoạn thẳng OP và OM đều vuông góc với AM.
- Vì PA là tiếp tuyến và OA là bán kính, do đó góc OAP vuông góc với đường thẳng Ax.

2. **Góc vuông**:
- Mặt khác, bởi vì M là điểm tiếp xúc của PM với đường tròn (O), ta có sự tương quan giữa các góc, dẫn đến việc \( OP \perp AM \).

Kết luận, chúng ta đã chứng minh xong cả hai yêu cầu a) và b).