Chúng ta sẽ giải bài toán như sau:

### Câu 6:

#### a. Chứng minh \( \frac{AE}{AB} = \frac{AG}{AM} \):

- Bởi vì \( G \) là trung điểm của đoạn \( AD \), nên \( AG = \frac{1}{2} AD \).
- Sử dụng tỉ lệ giữa đoạn \( AE \) và đoạn \( AB \), ta có:

\[
\frac{AE}{AB} = \frac{AG}{AM}
\]

- Để chứng minh rõ ràng, bạn có thể sử dụng định lý của Menelaus cho tam giác \( ABC \).

#### b. Chứng minh tứ giác \( BMCN \) là hình bình hành:

- Chúng ta cần chứng minh rằng \( BM \parallel CN \) và \( BC = MN \).
- Vì \( B, C \) là hai điểm trên hai đường thẳng song song, nên các cạnh bên sẽ song song.
- Ngoài ra, vì \( G \) là trọng tâm, ta có \( BG = GC \), cho nên \( BC = MN \).

#### c. Chứng minh \( \frac{BE + CF}{AE + AF} = 1 \):

- Bắt đầu từ định nghĩa về tỉ lệ đại số trong các đoạn. Vì \( E \) và \( F \) là các điểm trên các cạnh của tam giác \( ABC \), ta áp dụng định lý tỷ lệ trong tam giác.

### Câu 7:

Để chứng minh:

\[
\frac{a^3}{a^2 + b^2 + 1} + \frac{b^3}{b^2 + 1 + a^2} \geq \frac{a + b + 1}{2}
\]

Bạn có thể dùng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc AM-GM:
1. Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\[
\left( \frac{a^3}{a^2+b^2+1} + \frac{b^3}{b^2+a^2+1} \right) \cdot \left( (a^2+b^2+1) + (b^2+a^2+1) \right) \geq (a+b+1)^2
\]
2. Sau đó, biến đổi và sắp xếp lại để đi đến kết quả cần chứng minh.

Hy vọng các gợi ý này giúp bạn giải quyết bài toán!