Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: \( A = \frac{\sqrt{x + 2024}}{\sqrt{x + 2023}} \) với \( x \geq 0 \)

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x + 2024}}{\sqrt{x + 2023}} \) với \( x \geq 0 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Ký hiệu và Biến đổi**:
Đầu tiên, ta có thể viết lại biểu thức \( A \):
\[
A = \sqrt{\frac{x + 2024}{x + 2023}} = \sqrt{1 + \frac{1}{x + 2023}}
\]

2. **Phân tích giới hạn**:
Khi \( x \) tiến tới \( 0 \):
\[
A = \sqrt{1 + \frac{1}{2023}} = \sqrt{\frac{2024}{2023}}
\]

Khi \( x \) tiến tới vô cùng (\( x \to \infty \)):
\[
A \to \sqrt{1} = 1
\]

3. **Tìm giá trị lớn nhất**:
Để tìm giá trị lớn nhất của \( A \) trong khoảng \( x \geq 0 \), ta cần xem xét giới hạn dưới của \( x \) (khi \( x = 0 \)):
\[
A(0) = \sqrt{\frac{2024}{2023}} \approx 1.0049
\]

Với \( x > 0 \), \( A \) dần tiệm cận về 1 nhưng không bao giờ lớn hơn \( \sqrt{\frac{2024}{2023}} \).

4. **Kết luận**:
Do đó, giá trị lớn nhất của \( A \) là \( \sqrt{\frac{2024}{2023}} \) và đạt được tại \( x = 0 \).

**Kết quả:**
\[
\text{Giá trị lớn nhất của } A = \sqrt{\frac{2024}{2023}}.
\]