Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một:

### a. Tứ giác BMNP là hình gì?

Tứ giác BMNP được tạo thành từ các điểm:
- B là một đỉnh của tam giác ABC.
- M là một điểm trên cạnh AB.
- N là giao điểm của đường thẳng đi qua M song song với BC cắt AC.
- P là giao điểm của đường thẳng đi qua N song song với AB cắt BC.

Từ đó, ta thấy rằng:
- TNmPQ là hình bình hành, vì:
- MN // BC (vì MN song song với BC)
- NP // AB (vì NP song song với AB)

=> Từ đó, suy ra BMNP là hình bình hành.

### b. Chứng minh \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \)

1. **Tính tỉ số \( \frac{AM}{AB} \)**:
- Xét tam giác ABM và ANM.
- Do MN // BC, nên áp dụng quy tắc tỉ lệ trong tam giác:
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \tag{1}
\]

2. **Tính tỉ số \( \frac{AN}{AC} \)**:
- Sử dụng quy tắc tương tự, vì N nằm trên AC và \( MN // BC \).

3. **Tính tỉ số \( \frac{MN}{BC} \)**:
- Do hai đường thẳng song song MN và BC dẫn đến quy tắc tỉ lệ:
\[
\frac{MN}{BC} = \frac{AN}{AC} \tag{2}
\]

4. **Kết hợp các tỉ số**:
Từ (1) và (2), ta có:
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.
\]


### c. Chứng minh \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = DE = BC \)

1. **Xác định \( AD \)**:
- Theo giả thiết, \( AD = AM \), do đó \( \frac{AD}{AB} = \frac{AM}{AB} \).

2. **Xác định \( AE \)**:
- Chưa có tỉ lệ cụ thể, nhưng DE // BC và DE cắt AC tại E.

3. **Từ DE // BC, ta có**:
- Với quy tắc tỉ lệ tương tự, ta áp dụng cho E và D. Vậy \( \frac{DE}{BC} \) = 1.

=> Căn cứ vào các quy định tỉ lệ:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = DE = BC.
\]

### Kết luận

Với sự chứng minh từ các tỉ số tương ứng, tất cả đều dẫn đến tất cả mối quan hệ trên đều đúng. Bài toán cho thấy một mối quan hệ đẹp đẽ giữa hai tam giác và các đoạn thẳng.