Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất về tam giác và tia phân giác. Dưới đây là giải thích cho từng phần yêu cầu:

### a. Chứng minh \( \triangle ABD \cong \triangle AED \)

1. **Tia phân giác \( AD \)** chia góc \( \angle BAC \) thành hai góc bằng nhau. Do đó, \( \angle BAD = \angle EAD \).
2. **Có \( AB = AE \)** (theo giả thiết).
3. **AD là cạnh chung** của hai tam giác \( ABD \) và \( AED \).

Từ ba yếu tố trên, theo tiêu chuẩn tam giác (G-G-C), ta có thể kết luận:

\[ \triangle ABD \cong \triangle AED \]

### b. Chứng minh \( \triangle ABF \cong \triangle AED \)

1. Chúng ta đã có \( \triangle ABD \cong \triangle AED \) từ phần a.
2. **Có \( AF = AC \)** (theo giả thiết).
3. \( AB = AB \) (cạnh chung).

Dựa vào thuyết đồng dạng, ta có:

\[ \triangle ABF \cong \triangle AED \]

### c. Chứng minh ba điểm \( E, D, F \) thẳng hàng

Từ hai kết quả trên, chúng ta có:

- \( \triangle ABD \cong \triangle AED \) và \( \triangle ABF \cong \triangle AED \) dẫn đến \( AD = DF \) (cùng chung một đoạn đối diện).
- Do đó, **có một đoạn nối giữa AD và DF**, và vì vậy \( E, D, F \) phải nằm trên một đường thẳng.

### d. Chứng minh \( BE \parallel CF \)

1. Từ \( \triangle ABD \) và \( \triangle AED \), ta đã chứng minh rằng
\( \angle ADB = \angle ADE \).
2. Tương tự, từ \( \triangle ABF \) và \( \triangle AED \):
\( \angle AFB = \angle AED \).
3. Điều này cho thấy rằng \( BE \) và \( CF \) cắt nhau ở một góc với \( AD \), đảm bảo \( BE \parallel CF \) theo định lý về góc đồng vị.

Từ các chứng minh trên, ta đã hoàn thành yêu cầu của bài toán.