Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán theo thứ tự.

### a) Tính độ dài cạnh BC
Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), có \( AB = 8 \, cm \) và \( AC = 10 \, cm \).

Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
BC^2 = AC^2 - AB^2
\]
Thay giá trị vào:
\[
BC^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36
\]
Do đó,
\[
BC = \sqrt{36} = 6 \, cm
\]

### b) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật
Để chứng minh rằng tứ giác \( ABDC \) là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng nó có 4 góc vuông.

1. **Xét các góc**:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), do đó:
\[
\angle A = 90^\circ
\]
- Vì điểm \( O \) là trung điểm của \( BC \), nên \( OA \) là đường trung trực của cạnh \( BC \).

2. **Xét tam giác \( OAB \) và \( OAC \)**:
- Trong hai tam giác \( OAB \) và \( OAC \), ta thấy:
\[
OB = OC \quad (\text{vì } O \text{ là trung điểm})
\]
\[
AB = AC \quad (\text{theo giả thiết})
\]
- Do đó, \( OA \) cũng chính là đường trung tuyến của tam giác vuông \( ABC \).

3. **Đối xứng**:
- Điểm \( D \) nằm trên tia đối của tia \( OA \) với khoảng cách \( OD = OA \), điều này có nghĩa là \( D \) đối xứng với \( A \) qua \( O \).
- Do đó, \( \angle AOD = 180^\circ \) và hai góc \( \angle ABD \) và \( \angle ACD \) cũng là 90 độ.

4. **Kết luận**:
- Vì \( AB \perp AD \) và \( AC \perp AD \), nên \( ABDC \) có 4 góc vuông, từ đó ta kết luận \( ABDC \) là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh AN vuông góc với NE
1. **Thiết lập**:
- Gọi \( AH \) là đường cao của tam giác \( ABC \), \( M \) là một điểm trên đoạn \( AH \) (khác \( A \) và \( H \)), và \( N \) là điểm cắt của đường thẳng qua \( M \) song song với \( AB \) cắt \( BC \).

2. **Chú ý**:
- Vì \( AN \) là cạnh dọc của tam giác vuông \( ABC \), nó nằm trên đường thẳng vuông góc với \( BC \).
- Đường thẳng qua \( M \) song song với \( AB \) cũng sẽ vuông góc với đường cao \( AH \) của tam giác \( ABC \).

3. **Chứng minh**:
- Do \( MN \) song song với \( AB \), trong khi \( AN \) vuông góc với \( AB \) (vì \( AB \) song song với một cạnh của tam giác vuông).
- Ta có:
\[
AN \perp MN
\]
- Điểm \( E \) sao cho \( CE = MN \) sẽ tạo thành đoạn thẳng \( NE \), và do \( N \) và \( E \) nằm trên cùng một đường thẳng đồng thời vuông góc với cạnh \( AB \), thì:
\[
AN \perp NE
\]

Kết luận: Do đó, ta chứng minh được \( AN \perp NE \).

Tóm lại, ba phần của bài toán đã được giải quyết và các tính chất hình học đã được chứng minh.