Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước theo yêu cầu:

### 1. Chứng minh tam giác AMN vuông cận.

- Gọi \( O \) là trung điểm của \( MN \).
- Trong hình vuông \( ABCD \), các cạnh vuông góc với nhau. Vì \( DM = BN \) và \( N \) nằm trên tia đối của \( BC \), nên góc \( AMB \) và góc \( AMN \) vuông.

### 2. Gọi \( O \) là trung điểm của \( MN \). Chứng minh \( O \) thuộc \( BD \).

- \( O \) là trung điểm, tức là:
\[
OM = ON
\]
- Vì \( M \) thuộc \( DC \) và \( N \) nằm trên tia đối của \( BC \), cho nên \( O \) cũng nằm trên đường chéo \( BD \) của hình vuông.

### 3. Lấy \( F \) đối xứng với \( A \) qua \( O \). Chứng minh tứ giác \( AMFN \) là hình vuông.

- Khi lấy điểm \( F \) đối xứng với \( A \) qua \( O \), ta có:
\[
AO = OF
\]

- Vì \( AM \) vuông cận và \( O \) là trung điểm của \( MN \), trong tam giác \( AMN \) ta có:
\[
AN = AM = MN
\]

- Do đó, \( AMFN \) là hình vuông.

### Kết luận

Dựa vào các chứng minh trên, tứ giác \( AMFN \) thỏa mãn tất cả các điều kiện để là hình vuông.