Để giải quyết bài toán, trước tiên ta có thể biến đổi biểu thức \(a^2 - b^2\) như sau:

\[
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
\]

Theo đề bài, ta có:

\[
(a-b)(a+b) = 117.
\]

Ta cần tìm các cặp số nguyên dương \(a\) và \(b\) là số nguyên tố sao cho tích \((a-b)(a+b) = 117\). Ta sẽ phân tích 117 thành các tích của hai số nguyên dương:

\[
117 = 1 \times 117,
\]
\[
117 = 3 \times 39,
\]
\[
117 = 9 \times 13.
\]

Bây giờ ta sẽ xem xét từng cặp:

1. **Cặp \(1, 117\)**:
- \(a - b = 1\)
- \(a + b = 117\)

Giải hệ này:
\[
a - b = 1 \implies a = b + 1.
\]
Thay vào \(a + b = 117\):
\[
(b + 1) + b = 117 \implies 2b + 1 = 117 \implies 2b = 116 \implies b = 58.
\]
Vậy \(a = 59\). Ta có \(a = 59\) là số nguyên tố, nhưng \(b = 58\) không phải là số nguyên tố.

2. **Cặp \(3, 39\)**:
- \(a - b = 3\)
- \(a + b = 39\)

Giải hệ này:
\[
a - b = 3 \implies a = b + 3.
\]
Thay vào \(a + b = 39\):
\[
(b + 3) + b = 39 \implies 2b + 3 = 39 \implies 2b = 36 \implies b = 18.
\]
Vậy \(a = 21\). Cả hai \(a = 21\) và \(b = 18\) đều không phải là số nguyên tố.

3. **Cặp \(9, 13\)**:
- \(a - b = 9\)
- \(a + b = 13\)

Giải hệ này:
\[
a - b = 9 \implies a = b + 9.
\]
Thay vào \(a + b = 13\):
\[
(b + 9) + b = 13 \implies 2b + 9 = 13 \implies 2b = 4 \implies b = 2.
\]
Vậy \(a = 11\). Cả hai \(a = 11\) và \(b = 2\) đều là số nguyên tố.

Bây giờ ta tính tổng:

\[
a + b = 11 + 2 = 13.
\]

Cuối cùng, ta chứng minh \(a + b\) là số nguyên tố. Số 13 là số nguyên tố.

Vậy, cho các số nguyên tố \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a^2 - b^2 = 117\), ta có \(a + b\) là số nguyên tố.