Cho tam giác ABC vuông tại A dường cao AH. Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của h trên AB, AC

a) Để chứng minh tứ giác AEHD là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh AD và EH, AE và DH đều vuông góc với nhau và bằng nhau.

1. **Chứng minh AE ⊥ DH và AD ⊥ EH**:
- Do D là hình chiếu của H trên AB nên AD ⊥ AB => AD ⊥ EH (vì EH nằm trên AB).
- Do E là hình chiếu của H trên AC nên AE ⊥ AC => AE ⊥ DH (vì DH nằm trên AC).

2. **Chứng minh độ dài các cạnh**:
- Bằng cách sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác vuông, ta có thể thấy rằng AE = DH và AD = EH.

Kết hợp các điều kiện trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác AEHD là hình chữ nhật (h.c.n).

b) Để tính toán độ dài các đoạn thẳng BC và DE, chúng ta sử dụng định lý Pythagore.

1. **Tính độ dài đoạn BC**:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài đoạn DE**:
- Để tính DE, trước tiên ta cần xác định chiều cao AH. Theo thông tin đã cho, BH = 3.6 cm, vì vậy độ dài AH có thể được xác định từ tỉ lệ giữa AH, AB và AC như sau:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]
- Bây giờ, áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AHD và AHE để tính DE (cạnh đối diện với AH):
\[
DE = \sqrt{AD^2 + AE^2}
\]
- Ta có AD = AB - BD, trong đó BD = BH, do đó:
\[
AD = 6 - 3.6 = 2.4 \text{ cm} \quad và \quad AE = 8 - BE = 8 - \frac{BH \cdot AC}{BC} = 8 - \frac{3.6 \cdot 8}{10} = 8 - 2.88 = 5.12 \text{ cm}
\]

Vì vậy:
\[
DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{(2.4)^2 + (5.12)^2} = \sqrt{5.76 + 26.2144} = \sqrt{31.9744} \approx 5.65 \text{ cm}
\]

Tóm lại, chúng ta có:
- Độ dài đoạn BC = 10 cm
- Độ dài đoạn DE ≈ 5.65 cm.