Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một như sau:

**a) Chứng minh tam giác AMB = tam giác CMD**

1. **Xét tam giác AMB và tam giác CMD:**
- M là trung điểm của AC nên \( AM = MC \).
- Theo giả thiết, ta có \( MD = MB \).
- Các góc ở chung: góc \( \angle AMB = \angle CMD \) (do cùng chung một góc vuông khi MD đối diện với MB theo cách chọn điểm D trên tia đối của MB).

2. **Kết luận:**
- Từ những điều đã chứng minh trên, ta có:
\[
AM = MC, \quad MB = MD, \quad \angle AMB = \angle CMD
\]
- Do đó, hai tam giác AMB và CMD có những điều kiện cần thiết để chứng minh sự đồng dạng. Hơn nữa, với AD là đường trung bình của tam giác và các cạnh tương ứng bằng nhau, ta cũng có thể kết luận rằng:
\[
\triangle AMB = \triangle CMD
\]

**b) Chứng minh AD // BC:**

1. **Xét vị trí của các điểm:**
- Vì M là trung điểm của AC, và D được xây dựng để có MD = MB, ta có thể phân tích thêm tính chất của đường thẳng AD.
- Từ lý thuyết đồng dạng, ta có \( \triangle AMB \sim \triangle CMD \).

2. **Tính chất về tỉ lệ:**
- Từ sự đồng dạng này, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng, cụ thể là:
\(\frac{AM}{CMD} = \frac{MB}{BD} = k\) cho một hằng số k.

3. **Hệ quả về các đường thẳng:**
- Chúng ta biết rằng các đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh còn lại trong tam giác sẽ chia cạnh thành 2 phần tỉ lệ bằng nhau. Do đó, ta có:
\[
AD \parallel BC
\]

Kết thúc chứng minh, chúng ta có \( AD \parallel BC \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được:
- a) \( \triangle AMB = \triangle CMD \)
- b) \( AD \parallel BC \).