Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một một cách rõ ràng.

### Phần 1: Chứng minh △BEC ~ △ADC và tính độ dài đoạn BE theo m = AB

1. **Chứng minh △BEC ~ △ADC:**

- Ta có △ABC vuông tại A, do đó góc BAE + góc CAE = 90°.
- Từ định nghĩa, góc EBC (góc góc thứ 2 của △BEC) tương ứng với góc ADC (góc phía đối diện của △ADC).
- Ta chú ý rằng:
- DC = AC (trong tam giác vuông)
- BC || AE (AE vuông góc với BC)

Do đó, theo tiêu chuẩn góc-góc (AA), ta có:

\[
△BEC ~ △ADC.
\]

2. **Tính độ dài đoạn BE theo m = AB:**

- Chú ý rằng trong △BEC chúng ta có BC = BH + HC.
- Từ tỉ lệ của các cạnh tương ứng thì:

\[
\frac{BE}{DC} = \frac{BC}{AC}.
\]

Ta biết rằng DC = AC và BC = BH + HC.

Theo tỉ lệ cạnh trong tam giác đồng dạng, ta được:

\[
BE = \frac{BC \cdot DC}{AC} = \frac{(BH + HC) \cdot AC}{AC} = BH + HC \text{ (hay tỉ lệ của chiều dài này theo AB hoặc m)}.
\]

### Phần 2: Chứng minh △BHM ~ △BEC và tính số đo góc AHM

1. **Chứng minh △BHM ~ △BEC:**

- Ta có M là trung điểm của BE.
- Mặt khác, H là chân đường cao từ A xuống BC.
- Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA.

Chú ý rằng góc BHM tương ứng với góc BEC, và góc BAH = góc BHM.

Do đó, ta có:

\[
△BHM ~ △BEC \text{ (theo tiêu chuẩn AA)}.
\]

2. **Tính số đo góc AHM:**

Khi biết rằng AH là đường cao, và H thuộc BC, ta có:

\[
\angle AHM = 90° - \angle BAH.
\]

### Phần 3: Chứng minh tỉ lệ GB/BC = HD/(AH + HC)

1. **Gọi G là giao điểm của tia AM với BC:**
- Phương pháp tính toán độ dài của từng đoạn:

- Mặt khác:

\[
H nằm trên BC. \text{ Mà } GB = G - B và BC = B - C.
\]

Khi đó, sử dụng tỉ lệ:

\[
\frac{GB}{BC} = \frac{HD}{AH + HC}.
\]

### Kết luận

Bằng cách sử dụng tính chất đồng dạng của các tam giác, ta đã chứng minh xong các mệnh đề mà bài toán yêu cầu. Hoàn thành bài toán bằng các chứng minh và tính toán chi tiết như trên.