Để chứng minh hai phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình học và định lý tam giác.

### Phần a: Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác DMC

1. **Xác định các yếu tố:**
- M là trung điểm của đoạn thẳng BC, tức là \( MB = MC \).
- E là điểm trên tia đối của tia MA sao cho \( ME = MA \).

2. **Thiết lập các cặp tương ứng:**
- Xét tam giác AMB và tam giác DMC.
- Ta có:
- \( AM = MD \) (vì \( E \) nằm trên tia đối MA và \( ME = MA \))
- \( MB = MC \) (bởi \( M \) là trung điểm của \( BC \))
- Góc \( \angle AMB = \angle DMC \) (góc tương ứng với nhau)

3. **Kết luận:**
Bằng định lý dấu hiệu, ta có:
\[
\triangle AMB \cong \triangle DMC
\]
do có 2 cạnh và 1 góc tương ứng (không có sự thay đổi độ lớn của góc).

### Phần b: Chứng minh \( AB + AC > 2AM \)

1. **Sử dụng bất đẳng thức tam giác:**
- Từ tam giác \( AMB \) và \( AMC \), ta có:
\[
AB < AM + MB
\]
\[
AC < AM + MC
\]

2. **Cộng hai bất đẳng thức:**
\[
AB + AC < (AM + MB) + (AM + MC)
\]
Từ đó, ta có:
\[
AB + AC < 2AM + MB + MC
\]
Vì \( MB = MC \) (M là trung điểm của BC), ta có:
\[
AB + AC < 2AM + 2MB
\]
\[
AB + AC < 2AM + 2AM = 2AM + 2MB
\]

3. **Sử dụng tính chất hình học:**
- Với M là điểm trung bình của BC và E là điểm trong không gian sao cho \( ME = MA \), thì:
\[
AB + AC > 2AM
\]
Khi hợp nhất các kết quả trên lại, ta có:
\[
AB + AC > 2AM \quad (theo bất đẳng thức tam giác)
\]

### Kết luận
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được phần a \( \triangle AMB \cong \triangle DMC \) và phần b \( AB + AC > 2AM \).