a. Chứng minh △BDA ⊂ △CEA

Giải thích:

• Trực tâm: Điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác.
• Tứ giác nội tiếp: Một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 độ.

Chứng minh:

• Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính BC (do ∠BEC=∠BDC=90o).
• Suy ra ∠AED=∠ACB (cùng chắn cung AD).
• Tương tự, tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH.
• Suy ra ∠BAD=∠HED (cùng chắn cung BD).
• Mà ∠HED=∠ACB (do cùng phụ với góc HAC).
• Vậy ∠BAD=∠ACB.

Kết luận:

• Ta có:
  • ∠BAD=∠ACB (cmt)
  • ∠ADB=∠AEC=90o Do đó, △BDA đồng dạng với △CEA (g.g)

b. Chứng minh AE . AB = AD . AC

Giải thích:

• Sử dụng tỉ số đồng dạng của hai tam giác đồng dạng.

Chứng minh:

• Vì △BDA đồng dạng với △CEA (cmt) nên:
  • ABAE​=ACAD​
  • Suy ra: AE.AB=AD.AC

Kết luận: Từ chứng minh trên, ta có AE . AB = AD . AC.

a. △BDA ⊂ △CEA
Để xác định xem tam giác △BDA có phải là một phần con của tam giác △CEA hay không, ta cần phải xem xét vị trí của các điểm và tính chất của các đường cao.
BD và CE là các đường cao trong tam giác △ABC. Điều này có nghĩa là BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB.
H là trực tâm của tam giác, nơi ba đường cao của tam giác gặp nhau.
Về hình học, do có sự tương ứng giữa các điểm trên các đường cao, ta có thể kết luận rằng tam giác △BDA có thể là một phần của tam giác △CEA. Do đó, ta có thể thấy rằng: △BDA ⊂ △CEA là đúng.
b. AE . AB = AD . AC
Ta cần chứng minh rằng tích của các đoạn thẳng AE và AB bằng tích của các đoạn thẳng AD và AC.
Trong tam giác vuông △ABC, các đường cao BD và CE sẽ tạo ra một số hệ quả hình học. Cụ thể, khi có hai đường cao, ta có thể áp dụng định lý liên quan đến các đoạn thẳng cắt nhau trong tam giác vuông.
Định lý này thường được gọi là định lý các đoạn thẳng trong tam giác vuông, theo đó có một mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác vuông khi có đường cao, và mối quan hệ này thể hiện qua công thức AE⋅AB=AD⋅AC
Vậy, AE . AB = AD . AC là một hệ quả từ định lý trong tam giác vuông.
Kết luận:
a. △BDA ⊂ △CEA là đúng.
b. AE . AB = AD . AC là đúng theo định lý trong tam giác vuông.