Để giải bài toán liên quan đến tam giác ABC đều và các điểm D, E, H, K, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Tính góc DBC và chứng minh tam giác DBC cân

1. **Tính góc DBC:**
- Gọi A, B, C là các đỉnh của tam giác đều ABC. Do đó, \(\angle ABC = \angle BCA = \angle CAB = 60°\).
- Đường thẳng vuông góc từ B cắt AC tại D, \( BD \perp AC \).
- Vì tam giác ABC đều, nên AD cũng là phân giác của \(\angle BAC\), và \(BC\) vuông góc với \(AD\) tại D.
- Sử dụng quy tắc góc vuông và góc ngoài:
\[
\angle DBC = 90° - \frac{\angle ABC}{2} = 90° - 30° = 60°.
\]

2. **Chứng minh tam giác DBC cân:**
- Ta có \(DB = DC\) (đường vuông góc từ B và C gặp tại D, tức là cả hai đoạn thẳng này đều có độ dài bằng nhau do tính chất hình học của tam giác đều).
- Do đó, \(\angle DBC = \angle DCB = 60°\).
- Từ đây suy ra tam giác DBC là tam giác cân.

### b) Chứng minh AD là phân giác của góc BAC

1. **Đường thẳng AD chia góc BAC thành hai góc bằng nhau:**
- Để chứng minh rằng AD là phân giác, ta sử dụng các tính chất của tam giác đều.
- Từ định nghĩa trong hình học, AD cắt BC tại D sao cho \(\angle ABD = \angle ACD\).
- Gọi \(\angle DAB = \angle DAC = x\). Theo tổng ba góc của tam giác ABC, ta có:
\[
\angle BAC = \angle DAB + \angle DAC = x + x = 2x.
\]
- Với \(\angle BAC = 60^\circ\), suy ra \(2x = 60^\circ\) hay \(x = 30^\circ\).
- Như vậy, AD là phân giác của \(\angle BAC\).

### c) Chứng minh A, E, D thẳng hàng

1. **Điểm E là trung điểm của BC:**
- Gọi E là trung điểm của BC, với \(BE = EC\).
- Ta đã chứng minh rằng AD là phân giác của angle BAC, và D nằm trên AD.
- Như đã chứng minh ở phần trên, DB = DC, và A, E, D nằm trên cùng một đường thẳng, do AE tạo thành một đoạn thẳng với D.
- Do đó, A, E, D thẳng hàng.

### d) Lấy H sao cho B là trung điểm của DH và K sao cho C là trung điểm của DK. Tính góc HAK.

1. **Để tìm góc HAK:**
- Vì B là trung điểm của DH nên DH = 2 × BH.
- Tương tự, C là trung điểm của DK nên DK = 2 × CK.
- Do A, E, D thẳng hàng, nên góc HAK có thể được tính từ góc BAC và các góc vuông.
- Ta có:
\[
\angle HAK = \angle BAC = 60°.
\]

2. **Tóm lại:**
- H = angle HAK = \(\angle BAC = 60°\).

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành tất cả các phần của bài toán.