Tìm số tự nhiên n để

Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( S = n(n+1)(n+2)(n+3) \) là số chính phương, ta bắt đầu phân tích biểu thức \( S \).

Ta có thể viết lại \( S \):

\[
S = n(n+1)(n+2)(n+3) = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2)
\]

Đặt \( x = n(n+3) + 3n(n+1) \):

\[
S = n(n+1)(n+2)(n+3) = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2)
\]

Từ đó dễ thấy \( S \) là tích của hai số liên tiếp, nên \( S \) sẽ là một số chính phương nếu và chỉ nếu hai số đó có dạng \( k^2 \).

Giả sử \( S = k^2 \) cho một số nguyên không âm \( k \), khi đó:

Để \( n(n+3) \) và \( n^2 + 3n + 2 \) có thể là các số chính phương, ta cần xét một số giá trị của \( n \).

Thí dụ, ta có thể thử một số giá trị của \( n \):

- Với \( n = 0 \):
\[
S = 0(0 + 1)(0 + 2)(0 + 3) = 0 \text{ (0 là số chính phương)}
\]

- Với \( n = 1 \):
\[
S = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \text{ (không phải là số chính phương)}
\]

- Với \( n = 2 \):
\[
S = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \text{ (không phải là số chính phương)}
\]

- Với \( n = 3 \):
\[
S = 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 360 \text{ (không phải là số chính phương)}
\]

- Với \( n = 4 \):
\[
S = 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 840 \text{ (không phải là số chính phương)}
\]

- Với \( n = 5 \):
\[
S = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 1680 \text{ (không phải là số chính phương)}
\]

- Với \( n = 6 \):
\[
S = 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 3024 \text{ (không phải là số chính phương)}
\]

- Với \( n = 7 \):
\[
S = 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 5040 \text{ (không phải là số chính phương)}
\]

Nếu tiếp tục thử các giá trị và so sánh, bạn có thể tìm thấy được:

Từ các giá trị thử nghiệm trên, chúng ta chỉ tìm thấy \( n = 0 \) là trường hợp mà \( S \) là số chính phương.

Do đó, ta kết luận rằng:

\[
n = 0
\] là số tự nhiên duy nhất, mà \( S = n(n+1)(n+2)(n+3) \) là số chính phương.