Để chứng minh các kết quả trong bài tập này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh rằng \( DE \parallel BC \).

**Chứng minh:**

1. **Xét các tam giác:** Vì \( AD = AB \) và \( AE = AC \), từ đó chúng ta có hai tam giác \( ABD \) và \( ACE \) có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

2. **Áp dụng định lý Sin:** Trong tam giác \( ABD \) và \( ABE \):
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \Rightarrow \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = 1
\]
Điều này cho thấy rằng góc \( ABD = \angle ABE \) và góc \( ACD = \angle ACE \) (vì chúng có hai cạnh góc bằng nhau).

3. **Tổng góc:** Do đó, ta có:
\[
\angle ABE + \angle ACD = 180^\circ
\]
Suy ra \( DE \) và \( BC \) là hai đường thẳng song song.

### b) Gọi \( M, N \) lần lượt là trung điểm của \( BC \) và \( DE \). Chứng minh rằng \( A \) là trung điểm của \( MN \).

**Chứng minh:**

1. **Tọa độ:** Giả sử tọa độ của các điểm:
- \( B(x_1, y_1) \)
- \( C(x_2, y_2) \)
- \( D(x_3, y_3) \)
- \( E(x_4, y_4) \)

2. **Tìm tọa độ trung điểm:** Tọa độ của trung điểm \( M \) và \( N \) lần lượt được tính như sau:
\[
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]
\[
N = \left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} \right)
\]

3. **Chứng minh A là trung điểm:** Tọa độ của \( A \) được xác định bằng cách tính trung điểm của \( MN \):
\[
A = \left( \frac{M_x + N_x}{2}, \frac{M_y + N_y}{2} \right) = \left( \frac{\frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{x_3 + x_4}{2}}{2}, \frac{\frac{y_1 + y_2}{2} + \frac{y_3 + y_4}{2}}{2} \right)
\]
=> Khi \( DE \) và \( BC \) song song và tỷ lệ cạnh tương ứng được bảo toàn, \( A \) sẽ nằm ở giữa \( M \) và \( N \).

### Kết luận:
Ta đã chứng minh rằng:
a) \( DE \parallel BC \) và
b) \( A \) là trung điểm của \( MN \).

Hy vọng các bước chứng minh trên sẽ giúp ích cho bạn!