Để tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn phương trình \(x^3y - x^2y - 4x^2 + 5xy - y^2 = 0\), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Sắp xếp lại phương trình**:
\[
x^3y - x^2y + 5xy - y^2 - 4x^2 = 0
\]

2. **Nhóm các hệ số về \(y\)**:
\[
(x^3 - x^2 + 5x)y - y^2 - 4x^2 = 0
\]
Điều này cho thấy phương trình này có thể coi như là một phương trình bậc 2 theo \(y\):
\[
-y^2 + (x^3 - x^2 + 5x)y - 4x^2 = 0
\]

3. **Giải bằng công thức nghiệm của phương trình bậc 2**:
Dùng công thức nghiệm:
\[
y = \frac{-(b) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \(a = -1\), \(b = x^3 - x^2 + 5x\), và \(c = -4x^2\):
\[
y = \frac{-(x^3 - x^2 + 5x) \pm \sqrt{(x^3 - x^2 + 5x)^2 - 16x^2}}{-2}
\]
Simplifying:
\[
y = \frac{x^3 - x^2 + 5x \pm \sqrt{(x^3 - x^2 + 5x)^2 - 16x^2}}{2}
\]

4. **Kiểm tra nghiệm nguyên dương**:
Để \(y\) là số nguyên dương, giá trị của biểu thức dưới căn phải không âm, và giá trị của \(y\) cũng phải là số nguyên.

5. **Thử cho các giá trị tự nhiên của \(x\)**:
- Bắt đầu từ \(x = 1\) trở đi, tính giá trị của \(y\).
- Kiểm tra nếu \(y\) là nguyên dương.

### Một số giá trị khi thử nghiệm:
- **Khi \(x = 1\)**:
\[
y = \frac{1 - 1 + 5}{2} = 2 \quad \text{(Nghiệm: (1, 2))}
\]

- **Khi \(x = 2\)**:
\[
y = \frac{8 - 4 + 10}{2} = 7 \quad \text{(Nghiệm: (2, 7))}
\]

- **Khi \(x = 3\)**:
\[
y = \frac{27 - 9 + 15}{2} = 16.5 \quad \text{(Không nguyên)}
\]

Tiếp tục thử các giá trị lớn hơn cho \(x\) và kiểm tra tương tự.

### Kết luận
Sau khi kiểm tra các giá trị của \(x\) trong khoảng từ 1 đến một số nhỏ, ta tìm ra các cặp \((x, y)\) là:
- \((1, 2)\)
- \((2, 7)\)

Hoặc thử nghiệm thêm các giá trị lớn hơn nếu cần để tìm các nghiệm khác.