Cho đường tròn (O) đường kính BC, lấy điểm A thuộc (O). Gọi H là trung điểm của AC. Tia OH cắt (O) tại M. Từ A vẽ tiếp tuyến với (O) cắt tia OM tại N

Để chứng minh các phần đề bài đã nêu, chúng ta sẽ sử dụng một số đặc điểm của hình học phẳng, đặc biệt là các thuộc tính của đường tròn và các tiếp tuyến.

### a) Chứng minh rằng \( OM \parallel AB \)

Xét đường tròn (O) có đường kính BC, nghĩa là \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \). Vì \( A \) thuộc đường tròn này nên \( OA \) vuông góc với \( BC \) (tính chất của đoạn thẳng từ tâm đường tròn đến điểm thuộc đường tròn).

Gọi \( D \) là giao điểm của tiếp tuyến tại \( A \) với \( AB \). Vì \( AN \) là tiếp tuyến ở \( A \), ta có \( AO \perp AN \).

Hơn nữa, điểm \( M \) là giao điểm của tia \( OH \) với đường tròn, theo định lý tiếp tuyến và đường kính (chỉ ra rằng góc giữa tia tới và tiếp tuyến là góc vuông) thì:

\[
\angle OMA = 90^\circ = \angle AOB \quad \text{(do OA vuông góc với BC)}
\]

Do đó, \( OM \) vuông góc với \( OA \):

\[
\angle OMA = \angle OAB = 90^\circ
\]

Vì vậy, \( OM \parallel AB \) (bằng chứng là \( OM \) và \( AB \) đều song song với một đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng \( OA \)).

### b) Chứng minh rằng \( CN \) là tiếp tuyến của (O)

Để chứng minh rằng \( CN \) là tiếp tuyến của (O), ta cần chứng minh rằng \( CN \) vuông góc với bán kính \( OC \) tại điểm \( C \).

Từ điểm \( N \), mà ta đã xác lập ở trên, ta có:

- \( AC \) làm tựa điểm tại \( A \) cho \( CN \), với \( H \) là trung điểm của \( AC \).

Gọi \( K \) là giao điểm của tiếp tuyến \( AN \) với đường tròn (O). Theo định lý tiếp tuyến, khi ta nối \( C \) với \( N \), ta có:

\[
\angle ANC = 90^\circ
\]

Vì \( C \) là điểm trên đường tròn (O), \( OC \) là bán kính của đường tròn tới điểm \( C \). Ta có:

\[
\angle OCN = 90^\circ
\]

Suy ra \( CN \perp OC \), nghĩa là:

\[
CN \text{ là tiếp tuyến của }(O)
\]

Qua đây, ta đã chứng minh được rằng \( CN \) là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Kết luận cả hai phần a và b đã được chứng minh xong.