Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho biểu thức

\[
B = \frac{2n + 2}{n + 2} + \frac{5n + 17}{n + 2} - \frac{3n}{n + 2}
\]

là số tự nhiên, ta có thể giản lược biểu thức này.

Ta có:

\[
B = \frac{(2n + 2) + (5n + 17) - 3n}{n + 2} = \frac{2n + 2 + 5n + 17 - 3n}{n + 2} = \frac{4n + 19}{n + 2}
\]

Để \( B \) là số tự nhiên, \( 4n + 19 \) phải chia hết cho \( n + 2 \).

Áp dụng định nghĩa chia hết, ta có:

\[
4n + 19 = k(n + 2)
\]

với \( k \) là một số nguyên. Từ đó, ta có:

\[
4n + 19 = kn + 2k
\]

Sửa đổi để tìm mô hình của \( n \):

\[
(4 - k)n = 2k - 19
\]

Để \( (4 - k)n = 2k - 19 \) có nghiệm nguyên, \( 2k - 19 \) phải chia hết cho \( 4 - k \).

Ta cần tìm giá trị của \( k \) sao cho \( 4 - k \) không bằng 0, tức là \( k \neq 4 \).

Xét các giá trị cho \( k \):

1. Nếu \( k = 0 \):
\[ n = \frac{19}{4} \] (không nguyên)

2. Nếu \( k = 1 \):
\[ 3n = -17 \] (không có nghiệm tự nhiên)

3. Nếu \( k = 2 \):
\[ 2n = -15 \] (không có nghiệm tự nhiên)

4. Nếu \( k = 3 \):
\[ n = \frac{13}{1} = 13 \] (có nghiệm tự nhiên)

5. Nếu \( k = 5 \):
\[ -n = -9 \Rightarrow n = 9 \] (có nghiệm tự nhiên)

6. Nếu \( k = 6 \):
\[ -2n = -11 \Rightarrow n = 5.5 \] (không nguyên)

7. Nếu \( k = 7 \):
\[ -3n = -13 \Rightarrow n = \frac{13}{3} \] (không nguyên)

Tiếp tục phân tích cho đến khi không còn giá trị \( k \) nào khả thi.

Kết quả, các giá trị tự nhiên \( n \) thỏa mãn là:

- \( n = 13 \)
- \( n = 9 \)

Vậy các giá trị tự nhiên \( n \) để \( B \) là số tự nhiên là \( n = 9 \) và \( n = 13 \).