Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán như sau:

### a) Chứng minh rằng \( \angle BEF + \angle ACB = 180^\circ \)

1. **Vẽ tam giác \( ABC \)** với \( AB = AC \) (vì tam giác cân tại \( A \)).
2. **Gọi \( AE = AF \)** theo yêu cầu của bài toán.
3. Gọi \( \angle ABE = \alpha \) và \( \angle ACF = \beta \). Vì \( AB = AC \) nên \( \alpha = \beta \).
4. Xét các góc:
\[
\angle ABE + \angle ACB + \angle ACF = 180^\circ
\]
Khi đó, ta có:
\[
\angle BEF = \angle ABE + \angle ACF
\]
Vậy:
\[
\angle BEF = \alpha + \beta
\]
5. Do đó, ta có:
\[
\angle BEF + \angle ACB = \alpha + \beta + \angle ACB = 180^\circ
\]

### b) Chứng minh rằng \( BC + EF < 2BF \)

1. **Xét các đoạn thẳng**:
- \( AE = AF \)
- \( BF \) là một đường chéo cắt qua \( E \) và \( F \).
2. **Áp dụng định lý tam giác**:
- Trong tam giác \( BAF \):
- \( BF < AB + AF \)
- Trong tam giác \( BAE \):
- \( BE < AB + AE \)
3. Gọi \( BC = AB \):
\[
BC + EF < 2BF \implies AB + EF < 2BF
\]
4. Vì \( EF < AE + AF = 2AE \), do đó ta có:
\[
AB + EF < 2BF \text{ khi } BF > AB.
\]

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.