Để chứng minh góc \( IBN = 45^\circ \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và một số kiến thức về hình học.

**Bước 1: Xác định các góc trong tam giác ABC**

Trong tam giác vuông \( ABC \) (vuông tại \( A \)), theo giả thiết ta có:
- \( AB > AC \)
- Tia phân giác của góc \( B \) cắt \( AC \) tại \( D \).

Do đó, từ định nghĩa của tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}
\]

**Bước 2: Xác định vị trí điểm D và H**

- Kẻ \( DH \) vuông góc với \( BC \), ta có \( DH \perp BC \).
- Trên tia \( AC \), chọn điểm \( E \) sao cho \( AE = AB \).

**Bước 3: Tính toán các góc**

Ta biết rằng \( AE = AB \), điều này gợi ý rằng tam giác \( ABE \) là tam giác vuông tại \( A \) và \( AB \) là cạnh huyền, do đó:
\[
\angle AEB = 90^\circ
\]

**Bước 4: Xác định K**

Kẻ đường thẳng vuông góc với \( AE \) tại \( E \), cắt tia \( DH \) tại \( K \).

**Bước 5: Tại sao góc \( IBN = 45^\circ \)**

Xét tam giác \( ABE \):
- Ta có \( AE = AB \) và \( ABE \) là tam giác vuông tại \( A \), điều này dẫn đến \( \angle ABE = \angle AEB = 45^\circ \).

Vì vậy:
- Góc \( IBN = \angle ABE = 45^\circ \) bởi vì \( I, B, N \) nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng \( AE \).

Do đó, ta có thể kết luận:
\[
\angle IBN = 45^\circ
\]

**Kết luận:**
Ta đã chứng minh rằng \( \angle IBN = 45^\circ \) thông qua việc phân tích hình học của tam giác \( ABE \) và cấu trúc hình học của tam giác \( ABC \).