Để chứng minh rằng $A = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2024}$ là bội của 120, trước tiên chúng ta nhận thấy rằng $A$ là một cấp số nhân có tổng như sau:

$$A = 3 \left( 1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{2023} \right)$$

Sử dụng công thức tổng cấp số nhân, ta có:

$$1 + r + r^2 + \ldots + r^n = \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1}$$
với $r = 3$ và $n = 2023$:

$$1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{2023} = \frac{3^{2024} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{2024} - 1}{2}$$

Vậy tổng $A$ có thể viết lại như sau:

$$A = 3 \cdot \frac{3^{2024} - 1}{2} = \frac{3^{2025} - 3}{2}$$

Tiếp theo, để chứng minh rằng $A$ là bội của 120, chúng ta cần chứng minh rằng $\frac{3^{2025} - 3}{2}$ là bội của 120.

**Bước 1: Chia 120 thành các thừa số nguyên tố:**

$$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$$

**Bước 2: Xét các phần tử của $A$**

- **Chia cho 2**: Rõ ràng $3^{2025} - 3$ chia hết cho 2 vì cả hai số 3 và $3^{2025}$ đều lẻ, nên hiệu của chúng là chẵn.

- **Chia cho 3**: Cả $3^{2025}$ và $3$ đều chia hết cho 3, do đó $3^{2025} - 3$ cũng chia hết cho 3.

- **Chia cho 5**: Để kiểm tra tính chia hết cho 5, ta xem xét $3^{2025} \mod 5$.

Áp dụng định lý Fermat: $3^{4} \equiv 1 \mod 5$, do đó:

$$3^{2025} \equiv 3^{2025 \mod 4} \equiv 3^{1} \equiv 3 \mod 5$$

Suy ra:

$$3^{2025} - 3 \equiv 3 - 3 \equiv 0 \mod 5$$

Như vậy, $3^{2025} - 3$ chia hết cho 5.

**Kết luận**: Từ đó ta kết luận rằng $3^{2025} - 3$ chia hết cho $2^3$, 3 và 5. Suy ra:

$$\frac{3^{2025} - 3}{2}$$

chia hết cho 120, tức là $A$ là bội của 120.

Vậy, ta đã chứng minh rằng $A$ là bội của 120.