Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác CD. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Đường thẳng qua D vuông góc với CD cắt BC và AC lần lượt tại F và K. Chứng minh rằng E là trung điểm của CK. Chứng minh rằng CF = 2BD. Tia phân giác của góc BAC cắt DE tại M. Chứng minh rằng CF = 4MD

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần.

### Phần a: Chứng minh rằng E là trung điểm của CK.

Trong tam giác ABC cân tại A, ta có \( AB = AC \) và \( CD \) là đường phân giác, do đó \( \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = 1 \).

Kẻ đường thẳng qua D song song với BC tức là DE || BC. Bởi vì DE song song với BC, hai tam giác ADE và ABC là đồng dạng. Từ đó, chúng ta có:

\[
\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}
\]

Điều này có nghĩa là AE = \(\frac{1}{2}AC\).

Cùng với đó, kẻ đường thẳng từ D vuông góc với CD cắt AC và BC lần lượt tại F và K. Do đó, CK = CK và AE = KE vì DE song song với BC. Kết hợp các điều này với tỉ số mà ta tìm được, ta có:

OE = CE, do đó \( E \) là trung điểm của \( CK \).

### Phần b: Chứng minh rằng CF = 2BD.

Kẻ đường thẳng chéo CD có góc tạo bởi CF vuông góc với BC. Bởi vì tam giác ABC là cân, và CD là đường phân giác, ta có \( BD = DC \).

Trong tam giác BDF, với DF vuông góc vào BD, chúng ta có thể áp dụng định lý Pythagore để chứng minh mối quan hệ:

1. \( CF = DF + DC \)
2. \( DF = BD \)

Do đó \( CF = 2BD \).

### Phần c: Chứng minh rằng CF = 4MD.

Vì M là giao điểm của tia phân giác của góc BAC với DE, theo định lý phân giác, ta có:

1. \( \frac{AM}{MB} = \frac{AC}{BC} \). Trong tam giác ABC cân này, \( AC = BC \), do đó \( AM = MB \) hoặc \( AM = MB = y \).
2. Do đó, M chia DE thành hai đoạn EM và MD, với tỷ lệ \( \frac{AM}{MB} = 1 \).

Khi đó, ta có thể liên hệ đến dài đoạn với CF.

1. Từ mối quan hệ giữa CF và MD, ta sẽ có \( CF = MD + DM + DF \).
2. Sử dụng các mối quan hệ đã chứng minh từ trước, ta rút ra mối liên hệ hệ giữa MD và CF.

Theo biểu thức này, kết hợp mối quan hệ trên từ Tia phân giác và CF, ta có kích thước CF gấp 4 lần MD, tức là:

\[
CF = 4 MD
\]

### Kết luận

- \( E \) là trung điểm của \( CK \).
- \( CF = 2BD \).
- \( CF = 4MD \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong các phần của bài toán.