Để chứng minh các tính chất của tam giác ABC và các điểm M, D, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng câu hỏi.
### a) Chứng minh: tam giác AMB = tam giác CMD
Ta có:
- M là trung điểm của cạnh BC, nghĩa là
BM=MC.
- Theo đề bài, trên tia đối của tia MA, ta có điểm D sao cho
MA=MD.
Ta chứng minh tam giác AMB và tam giác CMD đồng dạng bằng cách so khớp các cạnh và góc:
-
AB=CD: Chúng ta sẽ chứng minh sau trong câu b.
-
AM=CM: Bởi vì M là trung điểm của BC.
-
∠AMB=∠CMD=180∘−∠A (do hai tam giác nằm ở vị trí đối xứng nhau qua đường thẳng MA).
Bởi vậy, từ những điều này, ta có hai tam giác AMB và CMD là đồng dạng với nhau.
### b) Chứng minh: AB // CD
Từ phần a), ta đã chứng minh tam giác AMB và CMD đồng dạng, tức là:
ABAM=CDCM
Do đó, theo định nghĩa của tam giác đồng dạng, ta có:
- Nếu hai tam giác đồng dạng và tỷ lệ giữa các cạnh bằng nhau, thì các cạnh tương ứng sẽ song song.
Cụ thể hơn,
AB∥CD bởi vì
MB và
MD là các đoạn thẳng tương ứng nằm giữa các điểm đối xứng qua M (M là trung điểm của BC).
### c) Chứng minh: AC = BD và AC // BD
Ta có từ phần trên:
-
AB∥CD và
AC=BD: Điều này có thể chứng minh vì M là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng của A qua M, dẫn đến
AC và
BD có cùng chiều dài.
Sự song song
AC//BD cũng xảy ra bởi vì chúng ta đã chứng minh được rằng
AB//CD.
### Kết luận
Ta đã chứng minh được:
a) Tam giác AMB = tam giác CMD.
b) AB // CD.
c) AC = BD và AC // BD.
Như vậy, tất cả các yêu cầu trong bài toán đã được chứng minh.