Để thu gọn biểu thức \( A \), ta sẽ xử lý từng phần một. Biểu thức ban đầu là:

\[
A = \left( \frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} + \frac{-x + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}} \right) \div \left( \frac{1}{\sqrt{x-2}} - \frac{1}{x-4} \right)
\]

Bước 1: Kết hợp các phân thức trong dấu vòng ngoặc.

Lấy hai phần tử trong dấu ngoặc trên:

\[
\frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} + \frac{-x + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}} = \frac{(x + 2\sqrt{x}) + (-x + \sqrt{x+1})}{\sqrt{x+1}} = \frac{2\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}
\]

Bước 2: Xử lý phần phân thức phía dưới.

Đối với phần dưới, ta sẽ tìm mẫu số chung:

\[
\frac{1}{\sqrt{x-2}} - \frac{1}{x-4} = \frac{(x-4) - \sqrt{x-2}}{(x-4)\sqrt{x-2}}
\]

Bước 3: Nối kết quả từ bước 1 và bước 2 lại.

Khi đó, biểu thức của \( A \) trở thành:

\[
A = \frac{\frac{2\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}}{\frac{(x-4) - \sqrt{x-2}}{(x-4)\sqrt{x-2}}}
\]

Bước 4: Đơn giản hóa biểu thức.

Thực hiện nhân chéo (nghĩa là nhân với nghịch đảo):

\[
A = \frac{(2\sqrt{x} + \sqrt{x+1}) (x-4)\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1} \cdot ((x-4) - \sqrt{x-2})}
\]

Biểu thức trên vẫn có thể đơn giản hơn nữa nếu ta biết giá trị cụ thể của \( x \), tuy nhiên, ở đây ta có thể kết luận rằng \( A \) đã được thu gọn ở dạng đơn giản như trên.

Cuối cùng, đảm bảo rằng giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \).