Chúng ta sẽ chứng minh từng phần trong bài 11:

### Bài 11: Chứng minh rằng

#### a)
Chứng minh:
\[
1 > \frac{1}{26} + \frac{1}{27} + \frac{1}{28} + \dots + \frac{1}{50} > \frac{1}{2}
\]

- Đầu tiên, ta biết rằng \( \frac{1}{n} \) có thể được so sánh với \( \frac{1}{n+1} \).
- Tính tổng:
\[
\frac{1}{26} + \frac{1}{27} + \frac{1}{28} + \ldots + \frac{1}{50}
\]
- Tổng cộng có 25 số hạng. Để ước lượng, ta có thể sử dụng tích phân để xấp xỉ giá trị của tổng này.
- Dùng bất đẳng thức Cauchy:
\[
\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{m}
\]
- Nên tổng này sẽ nhỏ hơn một số hạng lớn như \( \frac{1}{2} \) khi lấy khoảng từ \( n = 1 \) đến \( m = 50 \).

#### b)
Chứng minh:
\[
\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \ldots + \frac{1}{100} > 1
\]

- Tương tự như trên, ta có thể tìm tổng này bằng cách so sánh và dùng bất đẳng thức từ các dãy số.
- Tính số hạng, nhận thấy rằng đây tổng của 91 số hạng, có thể ước lượng bằng cách sử dụng logarit hoặc tích phân cũng khá hiệu quả.

#### c)
Chứng minh:
\[
\frac{1}{50} + \frac{1}{51} + \ldots + \frac{1}{100} > \frac{7}{12}
\]

- Số lượng số hạng cũng tương tự như trên, với 51 số hạng. Bắt đầu từ phần tử đầu tiên và lấy tổng để ước lượng trở lại.
- Sử dụng lại bất đẳng thức để chứng minh.

### Bài 12: Tính nhanh

#### a)
Công thức tổng quát cho \( A \):
\[
A = \frac{2}{1.2} + \frac{2}{2.3} + \frac{2}{3.4} + \ldots + \frac{2}{99.100}
\]
Và có thể quy đổi dữ liệu để thực hiện tích phân hoặc phép cộng nhanh.

#### b)
Công thức cho \( B \):
\[
B = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \ldots + \frac{1}{2003.2005}
\]

#### c)
Công thức cho \( C \):
\[
C = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{2020.2021}
\]

Mỗi phần từ \( A, B, C \) đều tuân theo quy tắc cộng dồn với số hạng và điều kiện riêng.

Hy vọng cách giải này giúp các bạn hình dung rõ hơn về chứng minh và tính toán các bài toán trên!