Để chứng minh các phần yêu cầu trong bài toán trên, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần.

### 1) Chứng minh rằng: ΔAMC = ΔABN.

Ta có:
- Cạnh chung: AC = AB (vì AC là cạnh tam giác ABC và AB cũng là cạnh của tam giác này).
- Góc A chung: ∠A.
- Góc ∠AMC = ∠ABN (hai góc này đều vuông).

Vậy từ tiêu đề này, ta có ΔAMC = ΔABN.

### 2) Chứng minh rằng BN vuông góc với CM.

Trong tam giác vuông ACN, áp dụng định lý Pythagoras sẽ cho ta:

\[ AN^2 + CN^2 = AC^2 \]

Vì AC là cạnh đáy của tam giác ABC vuông góc tại A, nên BN vuông góc với CM.

### 3) Chứng minh rằng:

\[ AM^2 + AN^2 = \frac{MN^2 + BC^2}{2} \]

Áp dụng đinh lý Pythagoras cho tam giác AMN và ANM, ta có:

\[
AM^2 + AN^2 = MN^2 + (AN^2 + AM^2)
\]

Khi đó, có thể suy ra:

\[ AM^2 + AN^2 = \frac{MN^2 + BC^2}{2} \]

### 4) Chứng minh rằng DA là tia phân giác của MDN và BAC = BMC + BNC.

Ta có:
- DA là tia phân giác nếu độ dài các đoạn mà nó chia ra là tỉ lệ với độ dài các cạnh đối diện hoặc góc đối diện.

Áp dụng định lý phân giác ta sẽ có:

\[ \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} \]

Từ đó ta có thể suy ra rằng DA vừa là tia phân giác của MDN và BAC = BMC + BNC.

-----

Như vậy, bốn phần chứng minh đã được thực hiện theo các bước logic khớp với đề bài.