Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?

Để xác định số máy móc công ty nên sử dụng nhằm tối thiểu hóa chi phí sản xuất, ta cần phân tích chi phí liên quan đến việc sản xuất 8000 quả bóng tennis.

1. **Chi phí thiết lập máy móc**: Mỗi máy có chi phí thiết lập 200 nghìn đồng.

2. **Chi phí giám sát**: Người giám sát có chi phí 192 nghìn đồng mỗi giờ.

3. **Số quả bóng sản xuất mỗi máy một giờ**: Mỗi máy móc có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ.

Ta cần tính số giờ cần thiết để sản xuất 8000 quả bóng:

$$\text{Số giờ cần thiết} = \frac{8000 \text{ quả bóng}}{30 \text{ quả bóng/giờ}} = \frac{8000}{30} \approx 266.67 \text{ giờ}$$

Gọi $n$ là số máy móc sử dụng. Thời gian sản xuất với $n$ máy là:

$$\text{Thời gian sản xuất} = \frac{266.67 \text{ giờ}}{n}$$

**Tính toán chi phí:**

- **Chi phí thiết lập với $n$ máy**: $200n$ (nghìn đồng)
- **Chi phí giám sát**: $192 \times \frac{266.67}{n}$

Vậy tổng chi phí $C(n)$ là:

$$C(n) = 200n + 192 \times \frac{266.67}{n}$$

**Tính đạo hàm để tìm cực tiểu:**

$$C'(n) = 200 - 192 \times \frac{266.67}{n^2}$$

Đặt $C'(n) = 0$:

$$200 - \frac{192 \times 266.67}{n^2} = 0$$

Giải phương trình này:

$$\frac{192 \times 266.67}{n^2} = 200$$
$$n^2 = \frac{192 \times 266.67}{200}$$
$$n^2 = 256$$
$$n = 16$$

Do đó, số máy móc công ty nên sử dụng là **16** máy để đảm bảo chi phí sản xuất là thấp nhất.