Để giải bài toán, chúng ta sẽ làm theo từng phần yêu cầu.

**a) Tính độ dài đoạn thẳng ME**

1. **Xác định các điểm trong tam giác**:
Giả sử $A(0, 0)$, $B(0, b)$, $C(c, 0)$. Để tam giác ABC vuông tại A, có $AC = 8 \text{cm}$. Nếu chọn $C = (8, 0)$, thì $B$ sẽ có tọa độ $(0, b)$ với $b = h$ (chiều cao).

2. **Tính tọa độ trung điểm M và E**:
- Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $BC$:
$$M\left( \frac{0 + 8}{2}, \frac{b + 0}{2} \right) = M\left( 4, \frac{b}{2} \right)$$
- Tọa độ trung điểm $E$ của đoạn thẳng $AB$:
$$E\left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = E\left( 0, \frac{b}{2} \right)$$

3. **Tính độ dài đoạn ME**:
Đoạn ME được tính bằng công thức khoảng cách giữa 2 điểm:
$$ME = \sqrt{(4 - 0)^2 + \left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2} = 4 \text{cm}$$

Vậy độ dài đoạn thẳng ME là **4 cm**.

---

**b) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật**

1. **Xác định các vector**:
- Vector $\overrightarrow{AE} = E - A = (0, \frac{b}{2}) - (0, 0) = (0, \frac{b}{2})$
- Vector $\overrightarrow{MF} = F - M$
- Tìm tọa độ điểm F:
Tọa độ trung điểm $F$ của đoạn thẳng $AC$:
$$F\left( \frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = F(4, 0)$$
Vậy $F(4, 0)$.

- Vector $\overrightarrow{MF} = (4 - 4, 0 - \frac{b}{2}) = (0, -\frac{b}{2})$

2. **Kiểm tra vuông góc**:
- Kiểm tra tích vô hướng của 2 vector:
$$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{MF} = 0 \cdot 0 + \frac{b}{2} \cdot \left(-\frac{b}{2}\right) = 0$$
Chứng tỏ $\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{MF}$ vuông góc.

3. **Tam giác AEMF có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau**:
- $AE = ME$ (đã tính) và $EF = AM$ (tương tự).

Vậy tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

---

**c) Chứng minh tứ giác ABMD là hình bình hành và BN = NP = PD**

1. **Chứng minh ABMD là hình bình hành**:
- Đầu tiên, vì $D$ là trung điểm của $MF$ nên $\overline{MD} = \overline{FD}$. Khi đó, các cạnh $AB$ và $MD$ song song và bằng nhau.
- Tương tự, $AM \parallel BD$ nên tứ giác $ABMD$ là hình bình hành.

2. **Chứng minh BN = NP = PD**:
- $BN$ là khoảng cách từ B đến điểm N trên EM.
- $NP$ là một đoạn thẳng nằm trên EM.
- Tương tự, $PD$ là phần còn lại từ điểm P đến D.

Khi đó, ta thấy rằng:
$$BN = NP = PD = \frac{1}{3}BD \text{ (theo tỉ lệ phân chia đoạn thẳng)}$$

---

**Hình vẽ**: Để trực quan hóa vấn đề, các bạn có thể vẽ hình tam giác vuông ABC với các điểm M, E, F, D như đã xác định tọa độ và các đoạn thẳng tương ứng.

Hy vọng nội dung này hữu ích và giúp bạn trong việc giải bài toán!