Để giải bài toán tìm \( x \) thỏa mãn đẳng thức:

\[
\frac{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 99.100}{x^2 + (x^2 + 1) + (x^2 + 2) + \ldots + (x^2 + 99)}
\]

trước tiên, chúng ta tính tổng ở từng phần.

### Phần 1: Tính tổng \( 1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 99.100 \)

Ta có thể viết lại tổng này dưới dạng:

\[
\sum_{n=1}^{99} n(n+1) = \sum_{n=1}^{99} (n^2 + n) = \sum_{n=1}^{99} n^2 + \sum_{n=1}^{99} n
\]

Sử dụng công thức:

\[
\sum_{n=1}^{m} n = \frac{m(m+1)}{2}
\]

và

\[
\sum_{n=1}^{m} n^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}
\]

cho \( m = 99 \):

- Tính \( \sum_{n=1}^{99} n \):

\[
\sum_{n=1}^{99} n = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950
\]

- Tính \( \sum_{n=1}^{99} n^2 \):

\[
\sum_{n=1}^{99} n^2 = \frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6} = \frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6} = 328350
\]

Tổng hợp lại chúng ta có:

\[
1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 99.100 = \sum_{n=1}^{99} n^2 + \sum_{n=1}^{99} n = 328350 + 4950 = 333300
\]

### Phần 2: Tính tổng \( x^2 + (x^2 + 1) + (x^2 + 2) + \ldots + (x^2 + 99) \)

Số hạng này là một cấp số cộng với 100 số hạng, với số hạng đầu là \( x^2 \) và số hạng cuối là \( x^2 + 99 \).

Tổng này là:

\[
100x^2 + (0 + 1 + 2 + \ldots + 99) = 100x^2 + \frac{99 \cdot 100}{2} = 100x^2 + 4950
\]

### Đặt vào đẳng thức

Đặt hai phần này vào đẳng thức:

\[
\frac{333300}{100x^2 + 4950} = 1
\]

Giải đẳng thức:

\[
333300 = 100x^2 + 4950
\]

Chuyển đổi để tìm \( x^2 \):

\[
100x^2 = 333300 - 4950 = 328350
\]

Chia cả hai vế cho 100:

\[
x^2 = \frac{328350}{100} = 3283.5
\]

Tính giá trị của \( x \):

\[
x = \sqrt{3283.5} \approx 57.285
\]

Vậy giá trị của \( x \) là:

\[
\boxed{57.285}
\]