Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2 R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB, cùng phía với nửa đường tròn vẽ Ax, By là lược là các tia tiếp tuyến của ( O) tại A và B. Gọi I là trung điểm của AO. Lấy hai điểm P, Q nằm trên Ax, By sao cho ∠ PIQ = 90 ° . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên PQ

Để giải bài toán trên, ta sẽ tiến hành theo hướng dẫn của từng câu hỏi.

### a) Chứng minh tứ giác APHI nội tiếp:

1. **Đặc điểm của tứ giác nội tiếp**: Tứ giác APHI sẽ nội tiếp nếu tổng của hai góc đối nhau bằng 180°.

2. **Tính toán góc**:
- Ta có hai điểm P và Q sao cho $\angle PIQ = 90^\circ$.
- Ta biết rằng I là trung điểm của AO, do đó $\angle AIO = 90^\circ$ và $\angle BAI = 90^\circ$ (tức là đoạn AO vuông góc với cả Ax và By).

3. **Áp dụng**:
- $\angle API = \angle AIO + \angle PIQ = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ - \angle AHI$.
- Do đó ta có $\angle API + \angle AHI = 180^\circ$.

4. **Kết luận**: Tứ giác APHI là tứ giác nội tiếp.

### b) Xác định vị trí các điểm P, Q trên Ax, By sao cho diện tích $\triangle IPO$ nhỏ nhất:

1. **Điểm M và N**: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AH với PI và BH với IQ.

2. **Xác định độ dài**:
- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác:
$$S = \frac{1}{2} \cdot |IP| \cdot |OH| \cdot \sin(\theta)$$
với θ là góc giữa hai đường thẳng IPO.

3. **Tìm giá trị cực tiểu**:
- Để diện tích nhỏ nhất, cần tìm các điểm P và Q sao cho giá trị |OH| và $\sin(\theta)$ được tối ưu hóa.
- Ghi nhớ rằng $|OH|$ là khoảng cách từ I đến đường thẳng PQ.

4. **Cách tiếp cận**:
- Áp dụng nguyên lý đối xứng của tứ giác và cách tìm cực trị bằng phương pháp suy diễn hình học.

5. **Kết luận**: Các điểm P và Q cần được chọn sao cho I nằm trên đường thẳng vuông góc với PQ.

### Ghi chú:
Để đi đến một câu trả lời chính xác và cụ thể, có thể cần thêm dữ liệu về cấu trúc hình học cụ thể hoặc điều kiện bổ sung từ bài toán. Tuy nhiên, kiến thức tổng quát về tam giác nội tiếp và mối quan hệ giữa các đường thẳng sẽ là cơ sở để tìm ra lời giải chính xác.