Rút gọn biểu thức

Để rút gọn biểu thức sau:

\[
S = 1 + \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \ldots + \frac{1}{99 \times 101}
\]

Chúng ta có thể thấy rằng các số hạng trong biểu thức có dạng tổng quát là:

\[
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \quad \text{với } n = 1, 2, 3, \ldots, 50
\]

Nếu chúng ta tính riêng từng số hạng này, chúng ta có thể viết lại như sau:

\[
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)
\]

Do đó, các số hạng của biểu thức \(S\) trở thành:

\[
S = 1 + \sum_{n=1}^{50} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)
\]

Ta có thể đưa 1 vào trong tổng:

\[
= 1 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{50} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)
\]

Khi tính tổng này, ta nhận thấy rằng nó là một chuỗi tách rời, trong đó nhiều phần sẽ tiêu biến nhau. Cụ thể, với bổ sung vào biểu thức, chúng ta có:

\[
\sum_{n=1}^{50} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{101} \right)
\]

Kết quả cuối cùng sẽ là:

\[
= 1 - \frac{1}{101}
\]

Do đó, chúng ta có:

\[
S = 1 + \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{101} \right) = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{101} = 1 + \frac{50}{101} = \frac{101}{101} + \frac{50}{101} = \frac{151}{101}
\]

Rút gọn biểu thức:

\[
S = \frac{151}{101}
\]

Vậy kết quả rút gọn của biểu thức là:

\[
\frac{151}{101}
\]