Để giải các bất phương trình trên, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

**a)** Giải bất phương trình \( \frac{2}{9} < \frac{x}{20} < \frac{2}{7} \)

1. Giải bất phương trình bên trái \( \frac{2}{9} < \frac{x}{20} \):

Nhân cả hai vế với 20 (lưu ý rằng 20 > 0, nên không thay đổi dấu bất đẳng thức):
\[
20 \cdot \frac{2}{9} < x \implies x > \frac{40}{9} \approx 4.44
\]

2. Giải bất phương trình bên phải \( \frac{x}{20} < \frac{2}{7} \):

Nhân cả hai vế với 20:
\[
x < 20 \cdot \frac{2}{7} \implies x < \frac{40}{7} \approx 5.71
\]

Kết hợp hai điều kiện lại, ta có:
\[
\frac{40}{9} < x < \frac{40}{7}
\]

**b)** Giải bất phương trình \( -\frac{5}{15} \leq \frac{x}{15} < \frac{1}{15} \)

1. Giải bất phương trình bên trái \( -\frac{5}{15} \leq \frac{x}{15} \):

Nhân cả hai vế với 15:
\[
-5 \leq x
\]

2. Giải bất phương trình bên phải \( \frac{x}{15} < \frac{1}{15} \):

Nhân cả hai vế với 15:
\[
x < 1
\]

Kết hợp hai điều kiện lại, ta có:
\[
-5 \leq x < 1
\]

**c)** Giải bất phương trình \( \frac{5}{-7} \leq \frac{x}{-7} \leq \frac{2}{-7} \)

1. Giải bất phương trình bên trái \( \frac{5}{-7} \leq \frac{x}{-7} \):

Nhân cả hai vế với -7 (lưu ý thay đổi dấu bất đẳng thức):
\[
5 \geq x \implies x \leq 5
\]

2. Giải bất phương trình bên phải \( \frac{x}{-7} \leq \frac{2}{-7} \):

Nhân cả hai vế với -7 (cũng thay đổi dấu bất đẳng thức):
\[
x \geq 2
\]

Kết hợp hai điều kiện lại, ta có:
\[
2 \leq x \leq 5
\]

**d)** Giải bất phương trình \( \frac{2}{5} < \frac{4}{x} < \frac{3}{2} \)

1. Giải bất phương trình bên trái \( \frac{2}{5} < \frac{4}{x} \):

Nhân cả hai vế với \( x \) (lưu ý rằng \( x \) phải dương nếu không sẽ thay đổi dấu):
\[
2x < 20 \implies x < 10
\]

2. Giải bất phương trình bên phải \( \frac{4}{x} < \frac{3}{2} \):

Nhân cả hai vế với \( x \):
\[
4 < \frac{3x}{2} \implies 8 < 3x \implies x > \frac{8}{3} \approx 2.67
\]

Kết hợp hai điều kiện lại, ta có:
\[
\frac{8}{3} < x < 10
\]

---

Tóm lại các kết quả:

a) \( \frac{40}{9} < x < \frac{40}{7} \)

b) \( -5 \leq x < 1 \)

c) \( 2 \leq x \leq 5 \)

d) \( \frac{8}{3} < x < 10 \)