Rút gọn biểu thức

Để rút gọn biểu thức

\[
S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{2}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots + \frac{14}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 15},
\]

ta có thể viết lại từng hạng tử của biểu thức như sau:

\[
\frac{n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n+1)} = \frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!}.
\]

Vậy hạng tử thứ \( n \) trong biểu thức trên là:

\[
\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}.
\]

Do đó, biểu thức \( S \) có thể viết lại như sau:

\[
S = \left( \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} \right) + \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{14!} - \frac{1}{15!} \right).
\]

Biểu thức này là một chuỗi telescoping (chuỗi rút gọn), vì vậy hầu hết các hạng tử sẽ bị triệt tiêu, và ta chỉ còn lại:

\[
S = \frac{1}{1!} - \frac{1}{15!}.
\]

Do đó, ta có:

\[
S = 1 - \frac{1}{15!}.
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
S = 1 - \frac{1}{15!}.
\]