Để chứng minh câu a) và b), ta sẽ sử dụng định nghĩa về tam giác cân và định nghĩa về đường trung tuyến.

### Chứng minh (a): Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

Gọi \( ABC \) là một tam giác cân với \( AB = AC \). Kí hiệu \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AC \) và \( BC \). Ta sẽ chứng minh rằng \( AM = AN \).

Từ định nghĩa trung điểm, ta có:

- \( AM \) là trung tuyến từ \( A \) đến cạnh \( BC \) (bằng \( \frac{1}{2}BC \)).
- \( AN \) là trung tuyến từ \( A \) đến cạnh \( AC \) (bằng \( \frac{1}{2}AC \), mà \( AC = AB \)).

Ta có mở rộng tam giác \( ABC \) thành tam giác \( ABM \) và \( ACM \).

Theo định nghĩa, trong các tam giác này, \( AB = AC \), \( AM = AN \), và \( BM = CN = \frac{1}{2}BC \).

Áp dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác, ta có:

\[
AM^2 + \frac{1}{4}BC^2 = AB^2 \quad \text{(1)}
\]

\[
AN^2 + \frac{1}{4}BC^2 = AC^2 \quad \text{(2)}
\]

Vì \( AB = AC \), từ (1) và (2) ta có:

\[
AM^2 + \frac{1}{4}BC^2 = AN^2 + \frac{1}{4}BC^2
\]

Suy ra:

\[
AM^2 = AN^2 \Rightarrow AM = AN
\]

Vậy, trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.

### Chứng minh (b): Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân.

Giả sử tam giác \( ABC \) có \( AM = AN \), trong đó \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên \( BC \) và \( AC \).

Từ định nghĩa, ta sẽ có:

- \( BM = MC \) (vì \( M \) là trung điểm của \( BC \)).
- \( CN = NA \) (vì \( N \) là trung điểm của \( AC \)).

Vì \( AM = AN \) cùng với việc \( BM = MC \) và \( CN = NA \), áp dụng định lý đường trung tuyến:

\[
AM^2 + \frac{1}{4}BC^2 = AB^2
\]
\[
AN^2 + \frac{1}{4}AC^2 = AC^2
\]

Từ đó, ta có:

\[
AB^2 = AC^2 \quad (vì AM = AN)
\]

Suy ra \( AB = AC \), vậy \( ABC \) là tam giác cân.

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, chúng ta đã hoàn thành chứng minh rằng:
a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.
b) Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.