Để rút gọn biểu thức \( P \), ta có:

\[
P = \frac{x^2 + 2x}{2x + 10} + \frac{x - 5}{x} + \frac{50 - 5x}{2x(x + 5)}
\]

1. **Rút gọn từng phần:**

**Phần 1:**
\[
\frac{x^2 + 2x}{2x + 10} = \frac{x(x + 2)}{2(x + 5)} = \frac{x}{2} \cdot \frac{x + 2}{x + 5}
\]

**Phần 2:**
\[
\frac{x - 5}{x} = 1 - \frac{5}{x}
\]

**Phần 3:**
\[
\frac{50 - 5x}{2x(x + 5)} = \frac{5(10 - x)}{2x(x + 5)}
\]

2. **Thay thế lại vào biểu thức \( P \):**
\[
P = \frac{x}{2} \cdot \frac{x + 2}{x + 5} + 1 - \frac{5}{x} + \frac{5(10 - x)}{2x(x + 5)}
\]

3. **Tính toán và rút gọn chung:**
Để rút gọn hơn nữa, ta cần quy đồng các phân số và kết hợp chúng lại. Bạn có thể làm các phép tính này tùy vào giá trị của \( x \) để tìm ra biểu thức rút gọn cuối cùng.

### b) Tìm giá trị của \( x \) khi \( P = 0, P = \frac{1}{4} \):
Để tìm giá trị của \( x \) khi \( P = 0 \) hoặc \( P = \frac{1}{4} \), bạn cần thay \( P \) vào biểu thức đã rút gọn và giải phương trình với các giá trị tương ứng.

### c) Tìm giá trị của \( x \) để \( P > 0 \) và \( P < 0 \):
Tương tự, bạn thay giá trị vào biểu thức đã rút gọn và giải các bất phương trình để tìm \( x \) phù hợp với điều kiện.

Nếu cần thêm thông tin chi tiết về từng bước hoặc phương trình cụ thể, hãy cho tôi biết!