Để chứng minh hai hệ thức BM = MD và tam giác DAK = tam giác BAC, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Chứng minh BM = MD:**

- Từ giả thiết, AM là phân giác của góc A, nghĩa là \(\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC}\).
- Ta có \(AD = AB\) nên điểm D được chọn sao cho AD = AB, tức là \(AB = AD\).
- Như vậy, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC} \implies \frac{AD}{AC} = \frac{BM}{MC}.
\]
- Từ đó, ta có \(\frac{BM}{MD} = \frac{BM}{AD}\), với D nằm trên tia AC.
- Áp dụng định lý phân giác, vì AM là phân giác, nên có
\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AD}{AC}.
\]
- Khi AD = AB, hai tỉ lệ này đều tương đương, dẫn đến \(BM = MD\).

2. **Chứng minh tam giác DAK = tam giác BAC:**

- Gọi K là giao điểm của AB và DM. Từ đó ta có hai tam giác DAK và BAC.
- Xét các cạnh của hai tam giác:
- Ta có \(AD = AB\) (theo giả thiết).
- Vì D nằm trên tia AC, ta có \(AK\) và \(BK\) lần lượt là các đoạn đối diện với AC và BC.
- AM là phân giác nên \(\angle BAM = \angle DAK\) (cùng một góc).
- Tại điểm K, hai đường thẳng AK và BK cắt nhau tại K.

- Từ những điều này ta suy ra:
\[
\text{Cạnh góc K chung } K \text{, } AD = AB \text{ và } \angle DAK = \angle BAC.
\]
- Từ đó suy ra hai tam giác DAK và BAC đồng dạng, tức là:
\[
\triangle DAK \sim \triangle BAC.
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được \(BM = MD\) và \( \triangle DAK = \triangle BAC\).