Chúng ta có các số \( a, b, c \) khác 0 thỏa mãn điều kiện:

\[
a + b + c = 2022
\]

Và

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2021}{2022}.
\]

Từ điều kiện thứ hai, chúng ta có thể viết lại như sau:

\[
\frac{bc + ac + ab}{abc} = \frac{2021}{2022}.
\]

Từ đó suy ra:

\[
bc + ac + ab = \frac{2021}{2022} \cdot abc.
\]

Bây giờ, chúng ta muốn tính giá trị của \( M = \frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b} + \frac{a+b}{c} \).

Ta có thể viết lại \( M \) như sau:

\[
M = \frac{(b+c)c + (a+c)a + (a+b)b}{abc}.
\]

Sử dụng điều kiện \( b+c = 2022 - a \), \( a+c = 2022 - b \), và \( a+b = 2022 - c \), ta có:

\[
M = \frac{(2022 - a)c + (2022 - b)a + (2022 - c)b}{abc}.
\]

Khai thác biểu thức bên trên:

\[
M = \frac{2022c - ac + 2022a - ba + 2022b - cb}{abc}.
\]

Mở rộng và đơn giản hóa:

\[
M = \frac{2022(a + b + c) - (ab + ac + bc)}{abc}.
\]

Thay \( a + b + c = 2022 \):

\[
M = \frac{2022 \cdot 2022 - (ab + ac + bc)}{abc}.
\]

Theo điều kiện ở trên, \( ab + ac + bc = \frac{2021}{2022} abc \):

\[
M = \frac{2022^2 - \frac{2021}{2022} abc}{abc}.
\]

Bây giờ, chúng ta cần xác định một biểu thức gần với dung tích của \( M \):

\[
M = \frac{2022^2}{abc} - \frac{2021}{2022}.
\]

Để giải quyết tốt hơn, chúng ta có thể tính \( M \):

Chia từng thành phần:

1. \( \frac{b+c}{a} = \frac{2022 - a}{a} \)
2. \( \frac{a+c}{b} = \frac{2022 - b}{b} \)
3. \( \frac{a+b}{c} = \frac{2022 - c}{c} \)

Vậy, khi lại nhóm lại \( M = 3 + \frac{2022^2-ab-ac-bc}{abc}. \) Vì tồn tại những điều kiện khác, sẽ cho ra kết quả.

Tính từng thành phần, bạn tổng hợp 3 thành phần này sẽ cho giá trị cuối, nghiệm được.

Với những tính toán này, tiếp tục tính toán \( M \) cho ra kết quả cuối.