Để rút gọn biểu thức \( A \), ta có:

\[
A = \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 + x} + \frac{2}{x + 1} \right) \cdot \frac{(x + 1)^2}{2x}
\]

**a) Rút gọn A:**

1. **Rút gọn từng phần tử:**

- Xét phần \( \frac{x^2 + 1}{x^2 + x} \):
\[
x^2 + x = x(x + 1)
\]
Do đó,
\[
\frac{x^2 + 1}{x^2 + x} = \frac{x^2 + 1}{x(x + 1)}
\]

- Xét phần \( \frac{2}{x + 1} \).

2. **Tính tổng:**
\[
\frac{x^2 + 1}{x(x + 1)} + \frac{2}{x + 1} = \frac{x^2 + 1 + 2x}{x(x + 1)} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x(x + 1)} = \frac{(x + 1)^2}{x(x + 1)}
\]

3. **Rút gọn biểu thức A:**
\[
A = \frac{(x + 1)^2}{x(x + 1)} \cdot \frac{(x + 1)^2}{2x}
\]
\[
= \frac{(x + 1)^4}{2x^2(x + 1)}
\]
\[
= \frac{(x + 1)^3}{2x^2}
\]

4. **Bài A ở dạng rút gọn:**
\[
A = \frac{(x + 1)^3}{2x^2} \quad (x \neq 0, x \neq -1)
\]

**b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên:**

- Để \( A \) là số nguyên, điều kiện là \( 2x^2 \) chia hết cho \( (x + 1)^3 \).

Phân tích điều kiện:
\[
A = \frac{(x + 1)^3}{2x^2} \text{ là số nguyên} \iff (x + 1)^3 \text{ chia hết cho } 2x^2
\]

- Tìm các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn điều kiện trên:

1. **Xét \( x = 1 \)**:
\[
A = \frac{(1 + 1)^3}{2 \cdot 1^2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ (nguyên)}
\]

2. **Xét \( x = 2 \)**:
\[
A = \frac{(2 + 1)^3}{2 \cdot 2^2} = \frac{27}{8} \text{ (không nguyên)}
\]

3. **Xét \( x = -2 \)**:
\[
A = \frac{(-2 + 1)^3}{2 \cdot (-2)^2} = \frac{(-1)^3}{8} = \frac{-1}{8} \text{ (không nguyên)}
\]

4. **Tiếp tục kiểm tra các giá trị khác nhau để xác định chân trị còn lại...**

Giá trị \( x = 1 \) là giá trị nguyên duy nhất đảm bảo \( A \) có giá trị nguyên, x = 0 và x = -1 không thỏa mãn biểu thức đã cho.

*Như vậy, các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên chỉ là \( x = 1 \).*