Chúng ta sẽ tính giá trị biểu thức đã cho từng bước một.

Biểu thức cần tính là:

\[
1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + \ldots + (1 + 2 + \ldots + 2025)
\]

### Tính tổng \(1 + 2 + \ldots + n\)

Tổng \(1 + 2 + \ldots + n\) được tính theo công thức:

\[
S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Do đó, tổng \(1 + 2 + \ldots + k\) có thể được viết lại là:

\[
S_k = \frac{k(k + 1)}{2}
\]

### Tính tổng các tổng

Chúng ta cần tính tổng:

\[
1 + S_2 + S_3 + \ldots + S_{2025}
\]

Trong đó:

\[
S_k = \frac{k(k + 1)}{2} = \frac{k^2 + k}{2}
\]

Vậy, tổng cần tính sẽ là:

\[
1 + \frac{2(2 + 1)}{2} + \frac{3(3 + 1)}{2} + \ldots + \frac{2025(2025 + 1)}{2}
\]

Bằng cách nhóm lại, ta sẽ có:

\[
\sum_{k=1}^{2025} S_k = \sum_{k=1}^{2025} \frac{k(k + 1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{2025} k(k + 1)
\]

Biểu thức \(\sum_{k=1}^{2025} k(k + 1)\) có thể được tách ra:

\[
\sum_{k=1}^{2025} k(k + 1) = \sum_{k=1}^{2025} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{2025} k^2 + \sum_{k=1}^{2025} k
\]

Sử dụng các công thức cho tổng các số nguyên và tổng bình phương:

\[
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
\]

### Tính từng phần

Với \(n = 2025\):

1. **Tính \(\sum_{k=1}^{2025} k\)**:

\[
\sum_{k=1}^{2025} k = \frac{2025 \times 2026}{2} = 2051525
\]

2. **Tính \(\sum_{k=1}^{2025} k^2\)**:

\[
\sum_{k=1}^{2025} k^2 = \frac{2025 \times 2026 \times 4051}{6}
\]

Tính giá trị cụ thể:

\[
2025 \times 2026 = 4101450
\]

Sau đó tính tiếp:

\[
\frac{4101450 \times 4051}{6} = \frac{16660411950}{6} = 2776735325
\]

### Kết hợp lại

Sau khi có hai tổng, ta tính:

\[
\sum_{k=1}^{2025} k(k + 1) = 2776735325 + 2051525 = 2778786850
\]

Vậy:

\[
\sum_{k=1}^{2025} S_k = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{2025} k(k + 1) = \frac{1}{2} \times 2778786850 = 1389393425
\]

### Tính phần dưới

Bây giờ ta xét phần mẫu số:

\[
1 \times 2025 + 2 \times 2024 + \ldots + 2025 \times 1
\]

Biểu thức này cũng giống với:

\[
\sum_{k=1}^{2025} k(2026 - k) = \sum_{k=1}^{2025} (2026k - k^2)
= 2026 \sum_{k=1}^{2025} k - \sum_{k=1}^{2025} k^2
\]

Tính như sau:

Sử dụng kết quả đã có ở trên:

\[
= 2026 \times 2051525 - 2776735325
= 4162578470 - 2776735325 = 1385843145
\]

### Cuối cùng

Biểu thức cần tính trở thành:

\[
\frac{1389393425}{1385843145}
\]

Để tìm giá trị đơn giản hơn thì chúng ta sẽ thấy rằng giá trị này gần 1.

Do đó, kết quả cuối cùng:

\[
= 1
\]

Vì vậy, kết quả là:

\[
\boxed{1}
\]