Để chứng minh các mệnh đề trong tam giác ABC vuông tại A với M là trung điểm của AC, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng yêu cầu.

### 1) Chứng minh \( ME = MF \)

Gọi \( E \) và \( F \) lần lượt là chân đường vuông góc từ \( A \) và \( C \) đến đường thẳng \( BM \). Ta có:

- \( AE \perp BM \) tại \( E \)
- \( CF \perp BM \) tại \( F \)

Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \), ta có \( AM = MC \).

Xét tam giác vuông \( AEM \) và tam giác vuông \( CFM \) (với góc vuông tại \( E \) và \( F \)), ta có:

\[
ME^2 = AM^2 - AE^2
\]
\[
MF^2 = MC^2 - CF^2
\]

Vì \( M \) là trung điểm nên \( AM = MC \), do đó:

\[
ME^2 = MF^2
\]

Suy ra \( ME = MF \).

### 2) Chứng minh \( BE = BF = 2MB \)

Trong tam giác vuông \( ABM \), theo định lý Pythagore:

\[
AB^2 + AM^2 = BM^2
\]

Tương tự trong tam giác vuông \( CFM \):

\[
CF^2 + MC^2 = BM^2
\]

Vì \( AM = MC \) và \( E, F \) là chân đường vuông góc từ \( A \) và \( C \) đến \( BM \), ta có:

\[
BE = \frac{AB \cdot MB}{AM}, \quad BF = \frac{CF \cdot MB}{MC}
\]

Vì \( AM = MC \) nên:

\[
BE = BF = 2MB
\]

### 3) Chứng minh \( AB < BM \)

Trong tam giác vuông \( ABM \), theo định lý Pythagore, ta có:

\[
BM^2 = AB^2 + AM^2
\]

Vì \( AM > 0 \) nên \( AB^2 < BM^2 \) suy ra \( AB < BM \).

### 4) Chứng minh \( \frac{BE + BF}{2} > AB \)

Từ kết quả vừa chứng minh ở bước 2: \( BE = BF = 2MB \).

Suy ra:

\[
\frac{BE + BF}{2} = \frac{2MB + 2MB}{2} = 2MB
\]

Và đã có \( AB < BM \) nên:

\[
2MB > AB
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{BE + BF}{2} > AB
\]

### Hình vẽ (GTKL)
Vì không thể vẽ hình trong văn bản, bạn có thể hình dung tam giác ABC như sau:

- Vẽ tam giác vuông ABC tại A.
- Kéo đường thẳng AC.
- Đánh dấu M là trung điểm của AC.
- Kéo đường thẳng BM.
- Đánh dấu chân đường vuông góc từ A và C đến BM tại E và F.

### Kết luận
Tất cả các yêu cầu đã được chứng minh. Nếu bạn cần thêm bất kỳ sự giúp đỡ nào khác, hãy cho tôi biết!