Để giải bài toán, chúng ta sẽ làm theo từng yêu cầu:

1) **Chứng minh rằng tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC**:

Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
- Góc A = 90 độ.

Ta có phương trình các góc:
- Góc HBA = góc CAB (cùng nằm ở vị trí A).
- Góc HBA = góc HBC (cũng nằm trong tam giác HBA và ABC).

Do đó, theo định lý đồng dạng tam giác, ta suy ra:
\[
\triangle HBA \sim \triangle ABC
\]

2) **Chứng minh rằng AH² = HB * HC và AB * AC = BC * AH**:

Theo định lý về đường cao trong tam giác vuông, ta có:
- \( AH² = HB \times HC \) (điều này đã được chứng minh).

Đối với công thức thứ hai, ta có:
- Theo tỉ lệ giữa các cạnh của tam giác đồng dạng:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AH}{AC}
\]

Khi nhân chéo, ta có:
\[
AB \cdot AC = AH \cdot BC
\]
hoặc
\[
AB \cdot AC = BC \cdot AH
\]

3) **Tính BC, AH, HB, HC biết AB = 6 cm, AC = 8 cm**:

Đầu tiên chúng ta tính BC:
- Sử dụng định lý Pitago:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, tính AH bằng công thức \( AH² = HB \cdot HC \) và \( AB \cdot AC = BC \cdot AH \):
\[
AB \cdot AC = 6 \cdot 8 = 48
\]
Bây giờ, chúng ta sử dụng công thức \( 48 = 10 \cdot AH \):
\[
AH = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

Để tìm HB và HC, chúng ta cũng biết rằng:
\[
AH^2 = HB \cdot HC
\]
Với AH = 4.8, ta có:
\[
4.8^2 = HB \cdot HC
\]
\[
23.04 = HB \cdot HC
\]

Lại có tỉ lệ giữa các đoạn:
- Từ \( \triangle HBA \sim \triangle ABC \) ta có:
\[
\frac{HB}{AB} = \frac{HC}{AC} \implies \frac{HB}{6} = \frac{HC}{8} \implies 8HB = 6HC \implies HC = \frac{4}{3} HB
\]

Thay vào \( HB \cdot HC = 23.04 \):
\[
HB \cdot \frac{4}{3} HB = 23.04
\]

Gọi HB = x:
\[
\frac{4}{3} x^2 = 23.04
\]
\[
x^2 = \frac{23.04 \cdot 3}{4} = 17.28
\]
\[
x = \sqrt{17.28} \approx 4.15 \text{ cm (HB)}
\]

Từ đó, ta tìm HC:
\[
HC = \frac{4}{3} \cdot 4.15 \approx 5.53 \text{ cm (HC)}
\]

Tóm lại:
- \( AB = 6 \text{ cm} \)
- \( AC = 8 \text{ cm} \)
- \( BC = 10 \text{ cm} \)
- \( AH \approx 4.8 \text{ cm} \)
- \( HB \approx 4.15 \text{ cm} \)
- \( HC \approx 5.53 \text{ cm} \)