Để tìm số lượng giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho bất phương trình $x^2 - (m + 3)x + (2m + 6) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ có nghiệm, ta cần xét điều kiện bất phương trình bậc hai này.

Bất phương trình bậc hai có dạng $ax^2 + bx + c \geq 0$ với $a > 0$ sẽ có nghiệm với mọi $x \in \mathbb{R}$ nếu và chỉ nếu:

1. **$a > 0$**: Trong trường hợp này, $a = 1$, luôn đúng.
2. **Delta ($\Delta$) không dương**: Điều này nghĩa là nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ không có nghiệm thực, tức là $b^2 - 4ac < 0$.

Áp dụng vào phương trình của chúng ta:
- $a = 1$
- $b = -(m + 3)$
- $c = (2m + 6)$

Tính delta:
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-(m + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m + 6)$$
$$\Delta = (m + 3)^2 - 4(2m + 6)$$
$$= m^2 + 6m + 9 - (8m + 24)$$
$$= m^2 - 2m - 15$$

Ta cần $\Delta < 0$:
$$m^2 - 2m - 15 < 0$$

Giải bất phương trình này:
Phương trình $m^2 - 2m - 15 = 0$ có thể giải với công thức nghiệm:
$$m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1}$$
$$= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}$$
$$= 5 \quad \text{hoặc} \quad -3$$

Bất phương trình $m^2 - 2m - 15 < 0$ có các nghiệm khi giữa hai nghiệm:
$$-3 < m < 5$$

Các giá trị nguyên trong khoảng này là:
- $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$

Tổng cộng có 7 giá trị nguyên. Vậy số lượng giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có nghiệm không dương với mọi $x \in \mathbb{R}$ là **7**.