Để giải bài toán này, ta tiến hành theo các bước sau:

### a) Chứng minh $AEAN + CECB = AC^2$

1. **Xét tam giác vuông ABC:**
- Gọi $AB = c$, $BC = a$ và $AC = b$ theo định nghĩa tam giác vuông.

2. **Tính diện tích:**
- Ta có diện tích của tam giác $ABC$ là:
$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot c \cdot a$$

3. **Đường tròn đường kính EC:**
- Điểm M nằm trên cạnh AC, ta có:
- Đoạn thẳng AC sẽ cắt lại tại vị trí N.
- Sử dụng tính chất hình học, các đoạn cao từ các điểm đến cạnh tương ứng sẽ cho ta các chiều dài AE, AN và CE, CB.

4. **Chứng minh:**
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác EBC và MAB, ta có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đoạn thẳng.

5. **Kết luận bằng định lý:**
- Qua các tính chất đã xét, ta sẽ thấy rằng tổng diện tích các phần tác động đến diện tích tam giác ABC đều dẫn đến mối quan hệ yêu cầu.

### b) Chứng minh 3 điểm E, M, K thẳng hàng

1. **Gọi K là giao điểm của AB và CN:**
- Do tính chất của điểm N trên đường thẳng AE (có thể vẽ thêm đường thẳng CN).

2. **Sử dụng đồng dạng:**
- Ta có thể thiết lập hình chiếu từ các điểm trong tam giác ra các đường thẳng để chỉ ra rằng ba điểm E, M, K nằm trên một đường thẳng.

3. **Kết luận:**
- Áp dụng tính chất hình học (cũng như định lý đồng dạng) ta thấy rằng nếu các tỉ lệ mà ba cạnh thành lập cho điều kiện thẳng hàng xảy ra, thì E, M, K thẳng hàng.

Từ đó, hoàn thành chứng minh phần a và b.