Để chứng minh rằng \( S = \frac{1}{5} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{61} + \frac{1}{62} + \frac{1}{63} < \frac{1}{2} \), trước tiên, ta có thể tính total của từng phân số một và sau đó so sánh với \( \frac{1}{2} \).

**Bước tính các phân số:**

1. Tính tổng \( S \):
\[
S = \frac{1}{5} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{61} + \frac{1}{62} + \frac{1}{63}
\]

2. Tìm giá trị gần đúng cho từng phân số:
- \( \frac{1}{5} = 0.2 \)
- \( \frac{1}{13} \approx 0.0769 \)
- \( \frac{1}{14} \approx 0.0714 \)
- \( \frac{1}{15} \approx 0.0667 \)
- \( \frac{1}{61} \approx 0.0164 \)
- \( \frac{1}{62} \approx 0.0161 \)
- \( \frac{1}{63} \approx 0.0159 \)

3. Cộng các giá trị:
\[
S \approx 0.2 + 0.0769 + 0.0714 + 0.0667 + 0.0164 + 0.0161 + 0.0159 \approx 0.4654
\]

Khi tính giá trị tổng này, chúng ta có được \( S \approx 0.4654 \).

**Bước so sánh:**
Rõ ràng \( 0.4654 < 0.5 \), khi đó điều này chứng minh rằng:
\[
S < \frac{1}{2}
\]

**Kết luận:**
Ta đã chứng minh rằng \( S < \frac{1}{2} \).