Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta có thể làm như sau:

### a) Chứng minh ΔBCH = ΔBAH và BH là đường trung trực của AC.

1. **Đối xứng**:
- ΔABC cân tại B có nghĩa là AB = AC.

2. **Góc**:
- Ta có góc ABC = góc ACB (do ΔABC cân).
- Góc ABH = góc ACH (do BH là đường cao).
- Vậy, ΔBCH và ΔBAH có:
- AB = AC (cạnh tương ứng)
- BH là đường cao, nên góc ABH = góc ACH
- BH là chung cạnh.

3. **Suy ra**:
- Theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh, ta có ΔBCH = ΔBAH.
- Từ ΔBCH = ΔBAH, suy ra BH là đường trung trực của AC.

### b) Chứng minh ΔEAB cân.

1. **Gọi M là trung điểm của BC**:
- Theo định nghĩa, M là trung điểm nên BM = MC.

2. **Đường thẳng vuông góc**:
- Ta có BH vuông góc với AC, vì BH là đường cao.
- M nằm trên EC nên EM = MB (do M là trung điểm).

3. **Chứng minh ΔEAB cân**:
- Ta có: EA = EB (cạnh tương ứng).
- Do ΔBCH = ΔBAH, suy ra các góc tương ứng của ΔEAB cũng bằng nhau.

4. **Kết luận**:
- Vì OA = OB và góc AEB = góc BAE, nên ΔEAB là tam giác cân.

### c) Trên BC và BA lần lượt lấy hai điểm D và F sao cho CD = BF.

1. **Chứng minh**:
- Nếu CD = BF, có nghĩa là hai đoạn này có độ dài bằng nhau.
- Do đó, ta có CD = EF.

2. **Suy ra**:
- Từ đó, ta có thể áp dụng các tính chất của tam giác để chứng minh mối quan hệ giữa các đoạn thẳng còn lại.

Bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác cân và các đoạn thẳng, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.